整数划分问题解法2-动态规划

整数划分 --- 一个老生长谈的问题:
  1) 练练组合数学能力.
  2) 练练递归思想
  3) 练练DP
  总之是一道经典的不能再经典的题目:
  这道好题求:
  1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
  2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
  3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
  4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
  5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

 

1.将n划分成不大于m的划分法: 

   1).若是划分多个整数可以存在相同的:

    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]  dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
       则划分数可以分为两种情况:
       a.划分中每个数都小于 m,相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
       b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分, 故划分数为 dp[n-m][m];

  2).若是划分多个不同的整数:

  dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]   dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
      同样划分情况分为两种情况:
      a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
      b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分,

   并且每一个数不大于m-1,故划分数为 dp[n-m][m-1]


2.将n划分成k个数的划分法:

 dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

     方法可以分为两类:
       第一类: n 份中不包含 1 的分法,为保证每份都 >= 2,可以先拿出 k 个 1 分
     到每一份,然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可,分法有: dp[n-k][k]
       第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法,可以先那出一个 1 作为单独的1份,剩
     下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可,分法有:dp[n-1][k-1]

   

3.将n划分成若干奇数的划分法:

    g[i][j]:将i划分为j个偶数

    f[i][j]:将i划分为j个奇数
     g[i][j] = f[i - j][j];
     f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];

 方法可以分为两类:

  第一类:i中拿出j个1分到每一份中,将剩余的i-j分成j个奇数

  第二类:一份包含奇数1,剩余的i-1分成j-1个奇数;另一种,每份至少大于1,将j个1拿出来分到每一份中,其余i-j分成j份


  代码如下所示(转载):

复制代码
/*
 * hit1402.c
 *
 *  Created on: 2011-10-11
 *      Author: bjfuwangzhu
 */

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 51
int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数
int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数
int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数
int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数
int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数
void init() {
    int i, j;
    for (i = 0; i < nmax; i++) {
        num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] =
                0, num2[0][i] = 0;
    }
    for (i = 1; i < nmax; i++) {
        for (j = 1; j < nmax; j++) {
            if (i < j) {
                num[i][j] = num[i][i];
                num1[i][j] = num1[i][i];
                num2[i][j] = 0;
            } else if (i == j) {
                num[i][j] = num[i][j - 1] + 1;
                num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1;
                num2[i][j] = 1;

            } else {
                num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j];
                num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1];
                num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j];
            }
        }
    }
    f[0][0] = 1, g[0][0] = 1;
    for (i = 1; i < nmax; i++) {
        for (j = 1; j <= i; j++) {
            g[i][j] = f[i - j][j];
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
        }
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
    int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4;
    init();
    while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
        res0 = num[n][n];
        res1 = num2[n][k];
        res2 = num[n][k];
        for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) {
            res3 += f[n][i];
        }
        res4 = num1[n][n];
        printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4);
    }
    return 0;
}
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