POJ 2409 Let it Bead (polya计数,burnside染色)
Description
A bracelet is a ring-like sequence of s beads each of which can have one of c distinct colors. The ring is closed, i.e. has no beginning or end, and has no direction. Assume an unlimited supply of beads of each color. For different values of s and c, calculate the number of different bracelets that can be made.
Input
Output
For each test case output on a single line the number of unique bracelets. The figure below shows the 8 different bracelets that can be made with 2 colors and 5 beads.
Sample Input
1 1 2 1 2 2 5 1 2 5 2 6 6 2 0 0
Sample Output
1 2 3 5 8 13 21
本题是给定颜色种数c和环上的珠子数n,问有多少种染色方案（通过旋转和翻转相同算同一种）最后的结果不会超过int类型。
1.旋转。
将环顺时针旋转i格后，循环节个数为gcd(n,i)， 染色方案为 ∑c^gcd(n,i) 其中 i=1,2,3,4,....n 这里的gcd是求的最大公约数
2.翻转。
这里也得考虑两种情况。
当n为奇数时，共有n个循环节个数为（n/2+1)的循环群，其实应该写成（n+1)/2。，染色方案为 n*c^(n/2+1)
为什么有n个循环群，并且每个循环群的循环节个数为（n/2+1)呢？ 拿正三角形为例，给它三个顶点染色， 对称轴是一个顶点与其对边中点连线所在的直线，这样的直线有3（n=3，即n个顶点) 条，共有3个循环群。假设第一个顶点在对称轴上，那么第二个顶点经过对称轴翻转肯定和第三个顶点重合，那么 （2,3）是一个循环节，（1）自己是一个循环节，循环节个数为2，即（n/2+1)。
当n为偶数时，共有n个循环群，其中有n/2个循环群的循环节个数为（n/2 +1)， 有n/2个循环群的循环节个数为（n/2)。
拿正方形为例，四个顶点从左上角顺时针编号1,2,3,4.
当以1,3顶点连线所在直线为对称轴时（对角的两个顶点）,这样对称轴有2个（n/2)，经过翻转，2,4 重合，1和1重合，3和3重合，那么循环节的个数为3个，即（2,4）（1）（3）, 即(n/2+1)。 染色方案为 (n/2)*c^(n/2+1)
当以两条相对平行的边的中点连线所在直线为对称轴时，比如以线段1,2的中点和3,4的中点连线的所在直线为对称轴，这样的对称轴有两个(n/2), 经过翻转，1,2重合，3,4重合，循环节的个数为2，（1,2）（3,4），即（n/2)。也就是谁和谁重合，谁就和谁在一个循环节里。染色方案为(n/2)*c^(n/2)
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int power(int p,int n)
{
int ret=1;
while(n)
{
if(n&1)ret=ret*p;
p=p*p;
n=n/2;
}
return ret;
}
int main()
{
int c,n;
while(cin>>c>>n)
{
if(c==0&&n==0)break;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=ans+power(c,gcd(n,i));
if(n&1)//是奇数，有n个包含(n/2+1)个循环节的循环群
ans=ans+n*power(c,n/2+1);
else
ans=ans+(n/2)*(power(c,n/2+1)+power(c,n/2));
ans=ans/(2*n);//别忘了除以置换群的总个数，这里由于既翻转又旋转所以是2*n
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}