阿达马变换的简单介绍

注：内容基本上摘抄自wikipedia，链接：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E8%BE%BE%E9%A9%AC%E5%8F%98%E6%8D%A2

阿达马变换（Hadamard transform），或称沃尔什-阿达玛转换，是一种广义傅立叶变换（Fourier transforms），作为变换编码的一种在视频编码当中使用有很久的历史。在近来的视频编码标准中，阿达马变换多被用来计算SATD(一种视频残差信号大小的衡量)。

变换矩阵

在H.264中使用了4阶和8阶的阿达马变换来计算SATD，其变换矩阵为：

SATD计算方法

当计算4x4块的SATD时，先使用下面的方法进行二维的阿达马变换：

然后计算所有系数绝对值之和并归一化。

类似的，当计算8x8块的SATD时，先使用下面的方法进行二维的Hadamard变换：

然后计算所有系数绝对值之和并归一化。

建构阿达马变换

阿达马变换转换主要型式为  点的转换矩阵，其最小单位矩阵为 2x2 的阿达马变换矩阵，以下分别为二点、四点与如何产生  点的阿达马变换转换步骤。

• 二点阿达马变换转换：

• 四点阿达马变换转换：

• 产生  点阿达马变换的步骤：

步骤一： 

步骤二： 根据正负号次序 (Sign change,正负号改变次数) 将矩阵 (Matrix) 内的列向量座顺序上的重新排列。

范例

优缺点比较

优点

• 仅需实数运算 (Real operation) 。
• 不需乘法运算 (No multiplication) ，仅有加减法运算。
• 有部分性质类似于离散傅立叶变换 (Discrete fourier transform) 。
• 顺向转换 (Forward transform) 与反向转换 (Inverse transform ) 型式为相似式。

其中  与  分别都为行向量 (Column vector) 。

缺点

• 其收敛速度较离散余弦变换慢，因此对于频谱分析的效果较差。
• 其加减法量较离散傅立叶变换、离散余弦变换多。

应用范围

阿达马变换转换主要为一种非常适合应用于频域分析 (Spectrum analysis) ，去执行快速之分析。可惜的是对于折积性质是一种逻辑折积，与离散傅立叶变换上之折积性质截然不同。因此，较折积上无法取代离散傅立叶变换。