FFT
传送门：http://www.wikioi.com/problem/3123/
FFT，快速傅里叶变换，蒟蒻看别人的题解都太深奥，看不懂，好不容易学会，以蒟蒻的理解写给那些想学FFT却又找不到合适的资料的OIer，蒟蒻理解有限，难免有许多错误，请大家多多包涵。
快速傅里叶变换
百度的各种讲解都TM扯什么频率什么的，蒟蒻完全看不懂，后来认真看了看算导，获益匪浅，算导上讲的真心不赖，有很多内容都来自算导。
1.多项式
多项式的两种表达方式：系数表达和点值表达
系数表达就是大家常用的表达方式，点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点，这样就可以确定原多项式。
比如说二次函数需要3个点就可以确定,一次函数需要2个点，一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0..n-1次幂的多项式)
A(x)=x^2+2*x-1可以被表达为{ ( 0 , -1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 7 ) }
加法和乘法：
B(x)=x^2-x+2 { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) }
C(x)=A(x)+B(x)=2x^2+x+1 { ( 0, 1) , ( 1 , 4 ) , ( 2, 11 ) }
注意乘法需要2n个点 lz比较懒就不写了……
于是我们得到一个计算多项式的方法：
2.n次单位复数根
有关复数根的性质可以百度到，不再赘述
http://baike.baidu.com/link?url=017EPfseoBwVxWpWPm5aunUn8x9dmRvioav9IubYLSKEGngK8_rDV2bd4PFCM8sJ
3.DFT&&FFT
使用单位根计算点值表达式叫DFT（离散傅里叶变换）复杂度n^2，FFT是其优化版复杂度nlogn
计算FFT的伪代码(好吧用的是python的高亮)
下划线代表的是下标,括号代表上标，for 循环的range是左闭右开的
- FFT(a):
- n=a.length()
- if n==1:
- return a
- w_n=e^(pi*i/n)=complex(cos(2*pi/n),sin(2*pi/n))
- w=1
- a(0)=[a0,a2,...a_n-2]
- a(1)=[a1,a3,...a_n-1]
- y(0)=FFT(a(0))
- y(1)=FFT(a(1))
- for k in range(0,n/2):
- y_k=y_k(0)+w*y_k(1)
- y_k+n/2=y_k(0)-w*y_k(1)
- w=w*w_n
- return y
4.递归=>迭代??
FFT的for循环中有两次w_n^k*y_k(1)的计算，于是可以改写成这样
- for k in range(0,n/2):
- t=w*y_k(1)
- y_k=y_k(0)+t
- y_k+n/2=y_k(0)-t
- w=w*w_n
- #这一过程被称蝴蝶操作
观察每次按照奇偶位置分割所形成的树：
每个数和他二进制相反的位置互换！！
伪代码（算导给的真是……）
- BIT-REVERSE-COPY(a,A):
- n=a.length()
- for k in range(0,n):
- A[rev(k)]=a_k
- #算导说rev函数很好写，就没写……
于是我们给出FFT的迭代实现的伪代码：
- FFT(a):
- BIT-REVERSE-COPY(a,A)
- n=a.length()
- for s in range(1,log2(n)+1):
- m=2^s
- w_m=e^(2*pi*i/m)=complex(cos(2*pi*m),sin(2*pi*m))
- for k in range(0,n,m):
- w=1
- for j in range(0,m/2):
- t=w*A[k+j+m/2]
- u=A[k+j]
- A[k+j]=u+t
- A[k+j+m/2]=u-t
- w=w*w_m
- return A
- #include<bitset>
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- #include <cmath>
- #include <algorithm>
- #define N 400005
- #define pi acos(-1.0) // PI值
- using namespace std;
- struct complex
- {
- double r,i;
- complex(double real=0.0,double image=0.0){
- r=real; i=image;
- }
- // 以下为三种虚数运算的定义
- complex operator + (const complex o){
- return complex(r+o.r,i+o.i);
- }
- complex operator - (const complex o){
- return complex(r-o.r,i-o.i);
- }
- complex operator * (const complex o){
- return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
- }
- }x1[N],x2[N];
- char a[N/2],b[N/2];
- int sum[N]; // 结果存在sum里
- int vis[N];
- void brc(complex *a,int l){//原来神犇的二进制平摊反转置换太神看不懂，蒟蒻写了一个O(n)的……
- memset(vis,0,sizeof(vis));//O(logn)的在后面
- for(int i=1;i<l-1;i++){
- int x=i,y=0;
- int m=(int)log2(l)+0.1;
- if(vis[x])continue;
- while(m--){
- y<<=1;
- y|=(x&1);
- x>>=1;
- }
- vis[i]=vis[y]=1;
- swap(a[i],a[y]);
- }
- }
- void fft(complex *y,int l,double on) // FFT O(nlogn)
- // 其中on==1时为DFT，on==-1为IDFT
- {
- register int h,i,j,k;
- complex u,t;
- brc(y,l); // 调用反转置换
- for(h=2;h<=l;h<<=1) // 控制层数
- {
- // 初始化单位复根
- complex wn(cos(on*2*pi/h),sin(on*2*pi/h));
- for(j=0;j<l;j+=h) // 控制起始下标
- {
- complex w(1,0); // 初始化螺旋因子
- for(k=j;k<j+h/2;k++) // 配对
- {
- u=y[k];
- t=w*y[k+h/2];
- y[k]=u+t;
- y[k+h/2]=u-t;
- w=w*wn; // 更新螺旋因子
- } // 据说上面的操作叫蝴蝶操作…
- }
- }
- if(on==-1) for(i=0;i<l;i++) y[i].r/=l; // IDFT
- }
- /*
- void fft2(complex *a,int s,int t){//蒟蒻自己写的递归版FFT，不保证正确 ,代码内部有未定义变量
- if((n>>t)==1)return;//s记录起始,t记录深度,调用时应从0开始
- fft(a,s,t+1);
- fft(a,s+(1<<t),t+1);
- for(int i=0;i<(n>>(t+1));i++){
- p=(i<<(t+1))+s;
- wt=w[i<<t]*a[p+(1<<t)];
- tt[i]=a[p]+wt;
- tt[i+(n>>(t+1))]=a[p]-wt;
- }
- for(i=0;i<(n>>t);i++)a[(i<<t)+s]=tt[i];
- }*/
- int main(void)
- {
- int l1,l2,l;
- register int i;
- while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
- {
- l1=strlen(a);
- l2=strlen(b);
- l=1;
- while(l<l1*2 || l<l2*2) l<<=1; // 将次数界变成2^n
- // 配合二分与反转置换
- for(i=0;i<l1;i++) // 倒置存入
- {
- x1[i].r=a[l1-i-1]-'0';
- x1[i].i=0.0;
- }
- for(;i<l;i++) x1[i].r=x1[i].i=0.0;
- // 将多余次数界初始化为0
- for(i=0;i<l2;i++)
- {
- x2[i].r=b[l2-i-1]-'0';
- x2[i].i=0.0;
- }
- for(;i<l;i++) x2[i].r=x2[i].i=0.0;
- fft(x1,l,1); // DFT(a)
- fft(x2,l,1); // DFT(b)
- for(i=0;i<l;i++) x1[i]=x1[i]*x2[i]; // 点乘结果存入a
- fft(x1,l,-1); // IDFT(a*b)
- for(i=0;i<l;i++) sum[i]=x1[i].r+0.5; // 四舍五入
- for(i=0;i<l;i++) // 进位
- {
- sum[i+1]+=sum[i]/10;
- sum[i]%=10;
- }
- l=l1+l2-1;
- while(sum[l]<=0 && l>0) l--; // 检索最高位
- for(i=l;i>=0;i--) putchar(sum[i]+'0'); // 倒序输出
- putchar('\n');
- }
- return 0;
- }
- /*void brc(complex *y,int l) // 二进制平摊反转置换 O(logn)
- {
- register int i,j,k;
- for(i=1,j=l/2;i<l-1;i++)
- {
- if(i<j) swap(y[i],y[j]); // 交换互为下标反转的元素
- // i<j保证只交换一次
- k=l/2;
- while(j>=k) // 由最高位检索，遇1变0，遇0变1，跳出
- {
- j-=k;
- k>>=1;
- }
- if(j<k) j+=k;
- }
- }*/
pyc神犇的写法，bzoj3527，zjoi2014 力，无限YM
- #include<cmath>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<iostream>
- #include<algorithm>
- using namespace std;
- const int maxn=1000010;
- int n,N,L;
- int rev[maxn];
- int dig[maxn];
- double p[maxn];
- struct cp{
- double r,i;
- cp(double _r=0,double _i=0):
- r(_r),i(_i){}
- cp operator+(cp x){return cp(r+x.r,i+x.i);}
- cp operator-(cp x){return cp(r-x.r,i-x.i);}
- cp operator*(cp x){return cp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
- };
- cp a[maxn],b[maxn],c[maxn],A[maxn],x,y;
- void FFT(cp a[],int flag){
- for(int i=0;i<N;i++)A[i]=a[rev[i]];
- for(int i=0;i<N;i++)a[i]=A[i];
- for(int i=2;i<=N;i<<=1){
- cp wn(cos(2*M_PI/i),flag*sin(2*M_PI/i));
- for(int k=0;k<N;k+=i){
- cp w(1,0);
- for(int j=0;j<i/2;j++){
- x=a[k+j];
- y=w*a[k+j+i/2];
- a[k+j]=x+y;
- a[k+j+i/2]=x-y;
- w=w*wn;
- }
- }
- }
- if(flag==-1)for(int i=0;i<N;i++)a[i].r/=N;
- }
- double anss[maxn];
- int main(){
- scanf("%d",&n);
- for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
- for(L=0,N=1;N<n;N<<=1,L++);L++;N<<=1;
- for(int i=0;i<N;i++){
- int len=0;
- for(int t=i;t;t>>=1)dig[len++]=t&1;
- for(int j=0;j<L;j++)rev[i]=rev[i]*2+dig[j];
- }
- for(int i=0;i<n;i++)a[i]=cp(p[i],0);
- for(int i=1;i<n;i++)b[i]=cp(1.0/i/i,0);
- FFT(a,1);FFT(b,1);
- for(int i=0;i<N;i++)c[i]=a[i]*b[i];
- FFT(c,-1);
- for(int i=0;i<n;i++)anss[i]=c[i].r;
- memset(a,0,sizeof(a));
- memset(b,0,sizeof(b));
- for(int i=0;i<n;i++)a[i]=cp(p[n-i-1],0);
- for(int i=1;i<n;i++)b[i]=cp(1.0/i/i,0);
- FFT(a,1);FFT(b,1);
- for(int i=0;i<N;i++)c[i]=a[i]*b[i];
- FFT(c,-1);
- for(int i=0;i<n;i++)anss[i]-=c[n-i-1].r;
- for(int i=0;i<n;i++)
- printf("%.9f\n",anss[i]);
- return 0;
- }
重新过了一遍高精乘
- #include<cstdio>
- #include<cmath>
- #include<cstring>
- #include<iostream>
- #include<algorithm>
- using namespace std;
- const int maxn=1e6+10;
- struct cp{
- double r,i;
- cp(double _r=0,double _i=0):
- r(_r),i(_i){}
- cp operator+(cp x){return cp(r+x.r,i+x.i);}
- cp operator-(cp x){return cp(r-x.r,i-x.i);}
- cp operator*(cp x){return cp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
- };
- cp a[maxn],b[maxn],A[maxn],x,y,c[maxn];
- char s1[maxn],s2[maxn];
- int sum[maxn],a1[maxn],a2[maxn],dig[maxn];
- int len1,len2,rev[maxn],N,L;
- void FFT(cp a[],int flag){
- for(int i=0;i<N;i++)A[i]=a[rev[i]];
- for(int i=0;i<N;i++)a[i]=A[i];
- for(int i=2;i<=N;i<<=1){
- cp wn(cos(2*M_PI/i),flag*sin(2*M_PI/i));
- for(int k=0;k<N;k+=i){
- cp w(1,0);
- for(int j=k;j<k+i/2;j++){
- x=a[j];
- y=a[j+i/2]*w;
- a[j]=x+y;
- a[j+i/2]=x-y;
- w=w*wn;
- }
- }
- }
- if(flag==-1)for(int i=0;i<N;i++)a[i].r/=N;
- }
- int main(){
- scanf("%s%s",s1,s2);
- len1=strlen(s1);
- len2=strlen(s2);
- for(N=1,L=0;N<max(len1,len2);N<<=1,L++);N<<=1;L++;
- for(int i=0;i<N;i++){
- int len=0;
- for(int t=i;t;t>>=1)dig[len++]=t&1;
- for(int j=0;j<L;j++)rev[i]=(rev[i]<<1)|dig[j];
- }
- for(int i=0;i<len1;i++)a1[len1-i-1]=s1[i]-'0';
- for(int i=0;i<len2;i++)a2[len2-i-1]=s2[i]-'0';
- for(int i=0;i<N;i++)a[i]=cp(a1[i]);
- for(int i=0;i<N;i++)b[i]=cp(a2[i]);
- FFT(a,1);FFT(b,1);
- for(int i=0;i<N;i++)c[i]=a[i]*b[i];
- FFT(c,-1);
- for(int i=0;i<N;i++)sum[i]=c[i].r+0.5;
- for(int i=0;i<N;i++){
- sum[i+1]+=sum[i]/10;
- sum[i]%=10;
- }
- int l=len1+len2-1;
- while(sum[l]==0&&l>0)l--;
- for(int i=l;i>=0;i--)
- putchar(sum[i]+'0');
- putchar('\n');
- return 0;
- }