DP的核心是状态的定义,状态的巧妙定义。
多重部分和
题目:给定整数a1、a2、.......an,每种数各mi个,判断是否可以从中选出若干数,使它们的和恰好为K。
分析:这是一个完全背包恰好装满的问题,当然可以用O(NKmi)
但通过把状态dp[i][j]定义成第i个数字使得和为j剩下的个数
这样,如果dp[i][j]>=0 那么和为j是可以用前i个数填满的,否则我们定义dp[i][j]=-1;
所以有三种状态转移方式
if(dp[i-1][j]>=0) dp[i][j]=mi;(全剩下了)
else if(a[i]>j || dp[i][j-a[i]]<=0) dp[i][j]=-1;(填不满)
else a[i][j]=a[i][j-a[i]]-1; (能填满,剩下的数比a[i][j-a[i]]少1)
这个方式很像完全背包,通过一件一件往后推,减少了内层循环,复杂度也是O(NK)
代码如下
int dp[maxn]; fill(dp,dp+n,-1) for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=k;j++){ if(dp[i-1][j]>=0) dp[i][j]=m[i]; else if(a[i]>j || dp[i][j-a[i]]<=0) dp[i][j]=-1; else dp[i][j]=dp[i][j-a[i]]-1; } }单调队列优化做法:用O(NK)时间内还可以求出重量
LIS问题
如何用O(nlogn)来实现这个问题?
最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了,这两个太容易理解了。
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2
再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2
继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。
在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!
个人理解:这个更新的作用是什么呢?当前的更新是为了后面的数能够产生更长的递增子序列,因为dp[i]变小了,后面的序列才可能因此更长,每次更新对之前的状态是没有影响的。
fill(dp,do+n,INF); for(int i=0;i<n;i++){ <span style="color:#ff0000;">*</span>lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i]; } cout<<lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp<<endl;注意lower_bound 和 upper_bound 是标准库函数,lower_bound(a,a+n,k)找到的是a[i]>=k的最小 指针(对数组)
函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找,返回大于或等于val的第一个元素位置。如果所有元素都小于val,则返回last的位置,返回查找元素的第一个可安插位置,也就是“元素值>=查找值”的第一个元素的位置
upper_bound( const key_type &key ):返回一个迭代器,返回查找元素的最后一个可安插位置,也就是“元素值>查找值”的第一个元素的位置。