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http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042651
母函数,又称生成函数,是ACM竞赛中经常使用的一种解题算法,常用来解决组合方面的题目。
本文讲解母函数,但不讲解该算法的基础理论。读者随便找一本组合数学教材便可找到相应的内容,或者直接在网上搜索一下。
母函数通常解决类似如下的问题:
给5张1元,4张2元,3张5元,要得到15元,有多少种组合?
某些时候会规定至少使用3张1元、1张2元、0张5元。
某些时候会规定有无数张1元、2元、5元。
……
解题过程
解题时,首先要写出表达式,通常是多项的乘积,每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表达式为
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))
K对应具体问题中物品的种类数。
v[i]表示该乘积表达式第i个因子的权重,对应于具体问题的每个物品的价值或者权重。
n1[i]表示该乘积表达式第i个因子的起始系数,对应于具体问题中的每个物品的最少个数,即最少要取多少个。
n2[i]表示该乘积表达式第i个因子的终止系数,对应于具体问题中的每个物品的最多个数,即最多要取多少个。
对于表达式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20),v[3]={1,2,5},n1[3]={0,4,1},n2[3]={2,5,4}。
解题的关键是要确定v、n1、n2数组的值。
通常n1都为0,但有时候不是这样。
n2有时候是无限大。
之后就实现表达式相乘,从第一个因子开始乘,直到最后一个为止。此处通常使用一个循环,循环变量为i。每次迭代的计算结果放在数组a中。计算结束后,a[i]表示权重i的组合数,对应具体问题的组合数。
循环内部是把每个因子的每个项和a中的每个项相乘,加到一个临时的数组b的对应位(这里有两层循环,加上最外层循环,总共有三层循环),之后就把b赋给a。
这些过程通常直接套用模板即可。
通用模板
下面我直接给出通用模板:
//为计算结果,b为中间结果。 int a[MAX],b[MAX]; //初始化a memset(a,0,sizeof(a)); a[0]=1; for (int i=1;i<=17;i++)//循环每个因子 { memset(b,0,sizeof(b)); for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//循环每个因子的每一项 for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//循环a的每个项 b[k+j*v[i]]+=a[k];//把结果加到对应位 memcpy(a,b,sizeof(b));//b赋值给a }
如果n2是无穷,那么第二层循环条件j<=n2[i]可以去掉。
如何提高效率?
用一个last变量记录目前最大的指数,这样只需要在0..last上进行计算。
这里给出第二个模板:
//初始化a,因为有last,所以这里无需初始化其他位 a[0]=1; int last=0; for (int i=0;i<K;i++) { int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//计算下一次的last memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2] for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//这里是last2 for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//这里一个是last,一个是last2 b[k+j*v[i]]+=a[k]; memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b赋值给a,只赋值0..last2 last=last2;//更新last }
下面看几个例题。
一、hdu 1085和hdu 1171两题套用了第二个模板,省略了代码中二三层循环里关于last2的条件(其实也可以加上)。
详见:
hdu 1085:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041467
hdu 1171:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041709
二、hdu 1398套用了第一个模板,因为n2中每一项为无穷大,所以n2数组就省略了。
详见:
hdu 1398:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041815
三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三题直接套用了第二个模板。
详见:
hdu 2079:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042045
hdu 2082:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042253
hdu 2110:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042421
另外,至于什么时候用第一个模板,什么时候用第二个模板,就看题目规模。
通常情况下,第一个模板就够用了,上面的那些用第二个模板的题目用第一个模板同样能AC。
但如果数据规模比较大(通常不会有这种情况),就要使用第二个模板了。
以上题目n1均为0。
四、hdu 2152是一道n1不为0的题目,我在这里分别套用第一个和第二个模板解题。
详见:
hdu 2152:http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042497
希望大家读了我的这篇文章后能有收获。