复数信号处理

1. 直接转换发射机 和 直接转换接收机

直接转换发送器将基带信号直接调制到射频RF，这里的基带信号是复信号，所以会看到正负频率不对称。对复信号进行频谱的搬移用到复三角函数，复三角函数的搬移只会向一个方向。实信号的频谱搬移用到实三角函数，实三角函数的搬移是向着左右两个方向搬移。调制完后的信号是复信号，所以频谱不对称，且需要用2根信号线来表示，我们舍弃虚部，只发送实部，这样也能将信息全发送出去。现实中的信号都是实信号。

图一.直接转换发射机

接收端接收到信号后，将信号乘以复三角函数，从RF下变频到基带（这也叫做零中频解调，从射频直接变频到基带，不经过中频，可防止中频镜像的产生），然后用低通滤波器滤去带外信号。滤波器的频谱响应是对称的，可称为实数滤波器，其截止频率取B/2，B是信号在RF端的带宽。由此可见复数信号的带宽变小了。需要的AD采样频率比原先减小了一倍。

图二.直接转换接收机

下面从频谱角度看一下正交采样过程：

下图包含频率的幅度和相位，可以看出，我们需把Q路人工看成是虚部，且画在与I路正交的位置上，当Q路乘上j后，Q路与I路的相位就在同一个平面上了（即相差0°或180°），这时就可得出基带信号。

图三.正交采样过程

2. 希尔伯特变换与解析信号

对于常见的实数信号，对其作FFT，得到的是共轭对称的复数。一对共轭对称的复数，在幅值上是相同的，在相位上是相反的，一个是+x°，另一个就是-x°

复数共轭对称示意图

我们从三维的视角去看实数信号的频谱，之前一直以为负频率幅值相同，相位相反代表的是：F正=-F负，其实并不完全是这样，这个只在相位为90°的特殊情况下成立，相位为0°或180°时，正负频谱的相位是一样的，实数信号的相位也不一定就是0°，90°的

实数信号频谱示意图（考虑相位与幅值）

希尔伯特变换从公式上看，就是一个全通移相器，正频率部分滞后90°，负频率部分超前90°

下图就是一个希尔伯特变换以及解析信号的变换过程示意图，在正频率处，红色、绿色、黑色应该是三线重合，这么画是为了可以看清楚。从信号X(f)变换到解析信号Y(f)的过程可以看成X(f)经过了一次正频率滤波器(Positive-Pass Filter,PPF)。希尔伯特变换在计算机中的实现应该就是先作FFT，在频率处理数据，然后作IFFT，变回到时域，由于变换之后的数据还是共轭对称的（蓝色），所以实数信号的希尔伯特变换还是实数信号。

上述提到希尔伯特变换可以提取正频率信号，所以，PPF可以在单边带调制中使用。

下面介绍包络检波中希尔伯特的应用：

References

[1] Kenneth W. Martin, "Complex Signal Processing is Not Complex", IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS—I: REGULAR PAPERS, VOL. 51, NO. 9, SEPTEMBER 2004

[2] Richard Lyons, "Quadrature Signals: Complex, But Not Complicated"