数据结构基础 之 最短路径 贪心算法

    Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。其基本思想是，设置顶点集合点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的其一顶点。把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组Distance记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶占，Distance就记录了从源到所有其它顶点之间最短路径长度。

    例如下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点最短路径的过程列表在下表中。

算法过程描述：
    表格中默认选取的起始顶点为1顶点，所以本问题就转化为求解1顶点到2, 3, 4, 5这几个顶点的最短路径。首先初始条件列出1顶点到2, 3, 4, 5各个顶点的距离，这个距离直接在图的存储邻接矩阵中得到，选取距离最近的一个也就是2顶点加入集合S，下面要进行的是比较关键的一步，这个时候应该去获取3, 4, 5三个顶点到集合S的最短距离(从1顶点出发，可以经过S中的任意顶点)：将1到2顶点的距离加上2到各个点的距离，然后用这个距离来同1到各个顶点的距离相比较，谁小就取谁，以此类推，然后每次取Distance[]最小的值进入集合S。
    这样下去，Distance[]中存放的就是每个顶点到集合S的最短距离，比如当前的集合只有1, 2，按照规则顶点4应该入选进集合S，因为Distance[3]没有入选集合的顶点中对应的Distance[]最小的顶点。现在需要计算3和5到新集合S={1, 2, 4}的最短距离，这个时候就只需要将Distance[2]和Distance[4]中的值（现在这里面的值表示集合S={1, 2}到顶点3和5顶点的最短距离），但是现在集合中加入了顶点4，怎么计算？计算方法如下：
Distance[3] + 邻接矩阵中顶点4到顶点3的距离 < Distance[2] ?
Distance[3]：(顶点4到S={1, 2}的最短距离)
Distance[2]: (顶点3到S={1, 2}的最短距离)
如果这个小于成立，那么很明显新的集合到顶点3的最小距离应该是先从S={1, 2}到顶点4的最短距离，然后再从顶点4到顶点3。

由于每一次的比较都是在上一次集合的最优结果中计算的，所以新计算出来的顶点3到集合S={1, 2, 4}的最短距离也是全局最优的。

对应的C语言代码如下：

 #include <stdio.h>

 #define M   65535 //无穷大
 #define N   5 //顶点数

 //Dijkstra算法函数，求给定顶点到其余各点的最短路径
 //参数：邻接矩阵、出发点的下标、结果数组、路径前一点记录
 void Dijkstra(int Cost[][N], int v0, int Distance[], int prev[])
 {
     int s[N];
     int mindis,dis;
     int i, j, u;
     //初始化
     for(i=0; i<N; i++)
     {
         Distance[i] = Cost[v0][i];
         s[i] = 0;
         if(Distance[i] == M)
             prev[i] = -1;
         else
             prev[i] = v0;
     }
     Distance[v0] = 0;
     s[v0] = 1; //标记v0
     //在当前还未找到最短路径的顶点中，
     //寻找具有最短距离的顶点
     for(i=1; i < N; i++)
     {//每循环一次，求得一个最短路径
         mindis = M;
         u = v0;
         for (j=0; j < N; j++) //求离出发点最近的顶点
             if(s[j]==0 && Distance[j]<mindis)
             {
                 mindis = Distance [j];
                 u = j;
             } // if语句体结束，j循环结束
         s[u] = 1;
         for(j=0; j<N; j++) //修改递增路径序列（集合）
         if(s[j]==0 && Cost[u][j]<M)
         { //对还未求得最短路径的顶点
             //求出由最近的顶点 直达各顶点的距离
             dis = Distance[u] +Cost[u][j];
             // 如果新的路径更短，就替换掉原路径

             if(Distance[j] > dis)
             {
                 Distance[j] = dis;
                 prev[j] = u;
             }
         } // if 语句体结束，j循环结束
     } // i循环结束
 }
 // 输出最短路径
 // 参数：路径前一点记录、出发点的下标、到达点下标
 void PrintPrev(int prev[],int v0,int vn)
 {
     int tmp = vn;
     int i, j;
     //临时存路径
     int tmpprv[N];
     //初始化数组
     for(i=0; i < N; i++)
         tmpprv[i] = 0;

     //记录到达点下标
     tmpprv[0] = vn+1;
     //中间点用循环记录
     for(i =0, j=1; j < N ;j++)
     {
         if(prev[tmp]!=-1 && tmp!=0)
         {
             tmpprv[i] = prev[tmp]+1;
             tmp = prev[tmp];
             i++;
         }
         else break;
     }

     //输出路径，数组逆向输出
     for(i=N-1; i >= 0; i--)
     {
         if(tmpprv[i] != 0)
         { //排除0元素
             printf("V%d", tmpprv[i]);
             if(i)  //不是最后一个输出符号
                 printf("-->");
         }
     }
     printf("-->V%d", vn+1);
 }
 //主函数
 int main()
 {
     //给出有向网的顶点数组
     charchar *Vertex[N]={"V1", "V2", "V3", "V4", "V5"};
     //给出有向网的邻接矩阵
     int Cost[N][N]={
         {0, 10, M, 30, 100},
         {M, 0, 50, M, M},
         {M, M, 0, M, 10},
         {M, M, 20, 0, 60},
         {M, M, M, M, 0},
     };
     int Distance[N]; //存放求得的最短路径长度
     int prev[N];  //存放求得的最短路径
     int i;
     //调用Dijkstra算法函数，求顶点V1到其余各点的最短路径
     //参数：邻接矩阵、顶点数、出发点的下标、 结果数组
     Dijkstra(Cost, 0, Distance, prev);
     for(i=0; i < N; i++)
     {
         //输出最短路径长度
         printf("%s-->%s:%d\t", Vertex[0], Vertex[i], Distance[i]);
         //输出最短路径
         PrintPrev(prev, 0, i);
         printf("\n");
     }

     return 0;
 }

程序运行结果截图：