中缀表达式及后缀表达式图解

平常我们见到的四则运算表达式都是中缀表达式，这种表示方法适合人阅读，但是不适合计算机计算，因为乘除号出现在加减号的后面时可能要先计算后面的加减号，加上括号后就更加麻烦了。计算机可以通过逆波兰式来非常方便的实现计算。

计算机实现四则运算主要分两步进行：

1. 将给定的中缀形式的表达式转换成后缀表达式形式
2. 利用后缀表达式执行计算

下面是上面两个步骤的图解过程（这实际上是《大话数据结构》一书中的图解流程）

转载自：将中缀表达式转化为后缀表达式

                图解后缀表达式的计算过程

中缀表达式转后缀表达式

中缀表达式“9+(3-1)*3+10/2”转化为后缀表达式“9 3 1-3*+ 10 2/+”

规则：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级低于找顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出找并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。

下面我们来具体看看这个过程。

1. 初始化一空栈，用来对符号进出栈使用。

2. 第一个字符是数字9，输出9，后面是符号“+”，进栈。

3. 第三个字符是“(”,依然是符号，因其只是左括号，还未配对，故进栈。

4. 第四个字符是数字3，输出，总表达式为9 3,接着是“-”进栈。

5. 接下来是数字1，输出，总表达式为9 3 1，后面是符号“)”，此时，我们需要去匹配此前的“(”，所以栈顶依次出栈，并输出，直到“(”出栈为止。此时左括号上方只有“-”，因此输出“-”，总的输出表达式为9 3 1 -

6. 接着是数字3，输出，总的表达式为9 3 1 - 3 。紧接着是符号“*”，因为此时的栈顶符号为“+”号，优先级低于“*”，因此不输出，进栈。

7. 之后是符号“+”，此时当前栈顶元素比这个“+”的优先级高，因此栈中元素出栈并输出（没有比“+”号更低的优先级，所以全部出栈），总输出表达式为 9 3 1 - 3 * +.然后将当前这个符号“+”进栈。也就是说，前6张图的栈底的“+”是指中缀表达式中开头的9后面那个“+”，而下图中的栈底（也是栈顶）的“+”是指“9+(3-1)*3+”中的最后一个“+”。

8. 紧接着数字10，输出，总表达式变为9 3 1-3 * + 10。

9. 最后一个数字2,输出，总的表达式为 9 3 1-3*+ 10 2

10. 因已经到最后，所以将栈中符号全部出栈并输出。最终输出的后缀表达式结果为 9 3 1-3*+ 10 2/+

• 从刚才的推导中你会发现，要想让计算机具有处理我们通常的标准（中缀）表达式的能力，最重要的就是两步：

1. 将中缀表达式转化为后缀表达式（栈用来进出运算的符号）。
2. 将后缀表达式进行运算得出结果（栈用来进出运算的数字）。

整个过程，都充分利用了找的后进先出特性来处理，理解好它其实也就理解好了栈这个数据结构。

后缀表达式求值

后缀表达式：9 3 1-3*+ 10 2/+

• 规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。
  

下面是详细的步骤：

1. 初始化一个空栈。此桟用来对要运算的数字进出使用。

2. 后缀表达式中前三个都是数字，所以9、3、1进栈。

3. 接下来是减号“-”，所以将栈中的1出栈作为减数，3出栈作为被减数，并运算3-1得到2，再将2进栈。

4. 接着是数字3进栈。

5. 后面是乘法“*”，也就意味着栈中3和2出栈，2与3相乘，得到6，并将6进栈。

6. 下面是加法“+”，所以找中6和9出找，9与6相加，得到15，将15进栈。

7. 接着是10与2两数字进栈。

8. 接下来是符号因此，栈顶的2与10出栈，10与2相除，得到5，将5进栈。

9. 最后一个是符号“+”，所以15与5出找并相加，得到20，将20进栈。

10. 结果是20出栈，栈变为空。