jzoj 4870. 【NOIP2016提高A组集训第9场11.7】涂色游戏 动态规划+排列组合+矩阵乘法

题目

有n行m列的矩阵和p种颜色，要求在每个格子内填上一种颜色，使得每两列的颜色种类不少于q。求满足条件的方案数。
n<=100,m<= 109 ,q<=p<=100

分析

这也是noip十连测忘了第几测的t2，当场没做出来，现在回想起来好像也并不是当初想象的那样难。

这题我至今没有在jzoj上面AC，因为有几个点在本地上跑过了，在上面却跑挂了。BPM说是因为我的某些写法不优美，所以就假装AC好了（逃）。

我们首先预处理一些东西，g[i,j]表示把i种颜色涂到j个格子里面，每种颜色至少出现一次的方案数。
g[i,j]=g[i-1][j-1]*i+g[i][j-1]*i
C[i,j]表示组合数，C[i,j]=C[i-1,j]+C[i-1,j-1]
那么现在就要开始对答案进行递推啦。
设f[i,j]表示有i列且第i列涂了j种颜色的方案数，那么我们再枚举一个k表示上一列的颜色数量，l表示在第i列涂多少种不同于上一列任何一种颜色的颜色，那么可以得到
f[i,j]=∑pk=1∑jl=q−kf[i−1,k]∗C[p−k,l]∗C[k,j−l]∗g[j,n]
那么对于满分做法我们只要在这个基础上加上矩阵优化就好了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 105
#define MOD 998244353
using namespace std;

int n,m,p,q,C[N][N],g[N][N];
struct arr{int a[N][N];}a,b,c;

arr mul(arr a,arr b)
{
    arr c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    for (int i=0;i<=p;i++)
        for (int j=0;j<=p;j++)
            for (int k=0;k<=p;k++)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(ll)a.a[i][k]*b.a[k][j]%MOD)%MOD;
    return c;
}

void ksm(int x)
{
    while (x)
    {
        if (x%2==1) c=mul(a,c);
        a=mul(a,a);
        x/=2;
    }
}

int main()
{
    freopen("C.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
    C[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=p;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        g[1][i]=1;
    for (int i=2;i<=p;i++)
        for (int j=i;j<=n;j++)
            g[i][j]=((ll)g[i-1][j-1]*i%MOD+(ll)g[i][j-1]*i%MOD)%MOD;
    for (int j=0;j<=p;j++)
        for (int k=0;k<=p;k++)
            for (int l=q-k;l<=j;l++)
                a.a[k][j]=(a.a[k][j]+(ll)C[p-k][l]*C[k][j-l]%MOD*g[j][n]%MOD)%MOD;
    for (int i=0;i<=p;i++)
        c.a[i][i]=1;
    ksm(m);
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=p;i++)
        ans=(ans+c.a[p][i])%MOD;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}