HDU-1573 X问题 【二元一次方程(讨论)+CRT(模方程合并)】

D - X问题

Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u
 
Description
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足:X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
Input
输入数据的第一行为一个正整数T,表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N,M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10),表示X小于等于N,数组a和b中各有M个元素。接下来两行,每行各有M个正整数,分别为a和b中的元素。
Output

对应每一组输入,在独立一行中输出一个正整数,表示满足条件的X的个数。


Sample Input
3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Sample Output
1
0

3


题意:求线性模方程组的解在给定闭区间内的个数;

思路:余数可能不互质 ,用CRT+EXGCD合并方程求出最小非负数解,再用二元一次方程讨论解得个数;

失误:二元一次方程求区间解的个数注意讨论,一般用排除法先排除不可能的情况,如果逐一讨论真的很麻烦,例如:[a,b] :a>0 ; b<0 ; b>0&&a<0 就这个清晰的情况就有三种情况,如果再加上a,b的大小不确定,开闭区间不确定的话就难受死了(这一·题就栽到这了),以后遇到二元一次求区间解的个数优先考虑排除


AC代码:

#include<cstdio>

int a[22],b[33],N;

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	int r=Exgcd(b,a%b,y,x);
	y=y-(a/b)*x;
	return r;
}

int CRT(int a[],int m[], int n)
{
	int mod=0,i=0,ans=0,a1=a[1],m1=m[1],a2,m2;
	for(i=2;i<=n;++i)
	{
		a2=a[i]; m2=m[i];
		int c=a2-a1;
		int x=0,y=0;
		int d=Exgcd(m1,m2,x,y);
		if(c%d) return 0;
		x=c/d*x;
	    mod=m2/d;
		x=(x%mod+mod)%mod;
		a1+=m1*x; m1*=mod; 
	 } 
     if(N<a1) return 0;//此处处理上wa了好几次  如果最小非负解超出所要求范围则为0 
	 ans=(N-a1)/m1+1;//[1,N]->[a1,N] a1是非负最小解 所以a1=0再判断 
	 if(a1==0) ans--;//这种判断简单多了 
	 return ans; 
} 
 
int main()
{
	int T,i,M;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d %d",&N,&M);
		for(i=1;i<=M;++i) scanf("%d",&a[i]);
		for(i=1;i<=M;++i) scanf("%d",&b[i]);
		int ans=CRT(b,a,M);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
 } 


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