Leetcode题解4.Median of Two Sorted Arrays

Leetcode题解

4.Median of Two Sorted Arrays-Hard

Author: Zinc
关键词：分治，递归，二分

题目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

中文简述

有两个有序数组nums1和nums2，长度分别为n和m，找出两数组合并在一起的中位数。特别要求：时间复杂度为O(log(m+n))

分析

线性时间：
看到题目有人就会开始说，这道题很简单嘛，直接将两个有序数组合并成一个有序数组然后用中位数的定义：中位数为有序数组中间那个数（长度为奇数）或者是中间两个数的平均数（长度为偶数时）。由于原来给定的两个数组已经是有序数组，所以我们只要如同归并排序的操作一步即可，时间复杂度为m+n，线性的遍历一遍排好序就可以了。
最后用公式整个的步骤是m+n+1步，时间复杂度为O（m+n），线性的时间貌似已经很优秀了，题目画下一个完美的句号。
“喂喂喂，你瞎么。。。题目让你用log(m+n)的时间哇！“（答题的时候从旁边传来不屑的嘲讽）
“什么！喵?喵?喵?”（此时的我一脸黑人问号），定睛一看真的是log(m+n)，上天绕过谁。果然这道Hard的题目不是好惹的。

对数时间分析：
看到对数时间相信很多人和我一样，一开始是懵逼的，怎么做？其实，就对数时间这一点而言，其实能达到这么快速的算法不多，最常见的就是二分的思想。好就以二分为切入点往下扩展，所谓的找到中位数，其实就是找到第k=len/2(向上取整）的数或者k=len/2与k=len/2+1的两个数的平均数，问题转变为找2个有序数组中第K大的数字，然后通过二分不段减小两个数组的规模。就得到了我们求解问题的代码。
简单的流程是：
1。从左右两边找到第K大的数（初始的K就是中位数的位置）
2。分别找两个数组k/2位置的数字进行比较，
若a1[k/2]>a2[k/2]说明，a1前k/2在搜素范围外，反之则a2的前k/2。
（k/2的长度和a1长度取最小那个进行算法；当a1无数字则答案在b中，若相等则答案就为相等的数字。）
3。情况1就将a1去除前k/2,搜索两个数组中第k/2大的数字
情况2就像a2去除前k/2,搜索两个数组中第k/2大的数字

Source Code

1.归并

    class Solution {
    public:
        double med_singlevec(vector<int>& nums){
            int len = nums.size();
            int mid = len/2;
            return ((len%2==0)? ((nums[mid]+nums[mid-1])/2.0) : nums[mid]);
        }

        double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
            int i = 0, j = 0;
            vector<int> nums;
            for(i = 0, j = 0; i<nums1.size()&&j<nums2.size();){
                if(nums1[i]<=nums2[j]){
                    nums.push_back(nums1[i++]);
                }
                else
                    nums.push_back(nums2[j++]);
            }
            while(i<nums1.size())
                nums.push_back(nums1[i++]);
            while(j<nums2.size())
                nums.push_back(nums2[j++]);
            return  med_singlevec(nums) ;


        }

2.二分分治

    #include <cmath>
    class Solution {
    public:
        double findKthnum(vector<int>&a, vector<int>&b, int k){
            int alen = a.size(), blen = b.size();
            if(alen > blen)
                return findKthnum(b, a, k);
            if(alen==0)
                return b[k-1];
            if(k==1)
                return min(a[0],b[0]);
            int pa = min(k/2, alen);
            int pb = k - pa;
            if(a[pa-1] < b[pb-1]){
                vector<int>*na = new vector<int>(a.begin()+pa, a.begin()+alen);
                return findKthnum(*na,b,k-pa);
            }

            else if(a[pa-1] > b[pb-1]){
                vector<int>* nb = new vector<int>(b.begin()+pb,b.begin()+blen);
                return findKthnum(a,*nb,k-pb);
            }

            else
                return a[pa-1];

        }
        double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
            int total = nums1.size()+nums2.size();
            if(total % 2 == 1){
                return findKthnum(nums1, nums2, total/2 +1);
            }
            else{
                return (findKthnum(nums1, nums2, total/2)+
                        findKthnum(nums1, nums2, total/2+1))/2.0;
            }
        }
    };