浙江省第6届大学生程序设计竞赛解题报告

这次比赛一共11道题目，难度上来讲，简单题和中等题都比较多。最难的是H，要dancing link。其次是E，要强联通分量缩点和dp。最简单的是A、F、I，中等题里最简单的是C，稍微要想一下的是K。B和G两道题要些几何知识，而且G写起来有点繁。D是卡时间的，需要想一下降低复杂度；而J需要排序，再dp，直接最佳匹配应该是不行的。

下面是简单分析：


A  Second-price auction

       我出的题。秒杀，不多说。


B  Light Bulb

       VB的题，不太难。稍微分析下：

设人在灯左面的位置为x，当影子不会打到墙上时，影子长为y,则有

y/(x+y)=h/H

于是y=h*x/(H-h)

这样是在x+y<=D的前提下计算出的x范围（影子不打到墙上）是 0<=x<=D*(H-h)/H

因为影子长度函数是单调增的，所以这里只要取x=D*(H-h)/H, 影子最长是h*D/H。

这是前半部分。

重要的在于后半部分，与题目给的图一样了，设影子打到墙上长为L，则有

(D-x)*H+L*x=h*D  (这个式子就是定比分点)

于是计算得L=H-(H-h)*D/x

影子长是 y=L+D-x=D-x-(H-h)*D/x+H

=H+D-(x+(H-h)*D/x) 

这时的约束自然是 D*(H-h)/H<=x<=D

其实只要讨论这部分的极值即可（因为影子不打在墙上且最长时的x值，就是x区间的左端点。也就是说两部分影子长度的函数是连续的）其实这个东西是单峰的，由均值不等式也好，求导也好，可以算出括号里的最小值是在x0=sqrt((H-h)*D)时取得，这就是函数取到最大值时的x值，但这个值未必在那个区间里。对于一个单峰的函数在一定区间的最大值就考虑两种情况即可，当最大值点在区间里时，就取最大值点对应的函数值，否则函数是单调的，在不考虑单增或单减的情况下，最大值在某一个端点处取得。(在两个端点处（D*(H-h)/H和D）选一个最大的y值即可),这样程序写出来很简单。当然，这里求极值可以使用三分的办法。



C  Connect them

我出的题，中等题偏简单吧。就是一个mst的变形。先把边按权值由小到大排序，如果权值相同，则按边的字典序排。然后用prim算法就可以的。按排好的顺序，每次加一条不形成圈的边。这样一条边没被加进来，是因为它加进来会形成圈，而这个圈里的其他边要么权值比它小，要么权值和它一样，但是字典序比它小，于是从这个圈里删边就要删掉它。（实现可以用并查集，判断这个边能不能加）还要注意，最后输出的时候还要再排序以保证字典序。



D  Derivatives

       VB的题，有点难，暴力会超时。就是有m维,n项的多项式求偏导的问题。

每项都是 c*x0^d0*x1^d1*x2^d2*…*x（m-1）^d（m-1）这样的形式。

于是我们可以定义 b[j][i]为第j项，从第i维开始到最后一维的乘积。（后面对c的定义是与b是反的）

这个可以先预处理每个数的n次方的值，当然这里不预处理也没关系。

然后再把b[j][i]预处理出来， b[j][i]=xji^dji*b[j][i+1]

这部分的复杂度O(m*n)

下面，我们处理对每维求导的结果。

仿照前面的思路，实际上我们是把一段乘积分为两部分，重复使用变量c (系数)，对于第i维，我们记录c，x0，x1..xi-1的乘积（含次方数）仍为c，而xi,xi+1…xm-1的乘积（含系数）在b里预处理过。当我们对第i维求导时（外层循环i），再循环j从0..n-1，

然后对第j项，需要累加到结果的值为c[j]*b[j][i+1]*dji*xji^(dji-1), 这些值都已经都算出来了，加上这项后，再在c[j]乘上xji^dji，以便该项在下一维求导时使用。

这样总复杂度O(m*n)



E  Disaster Area Reconstruction

VB的题，难题。题目的意思就是在一个有向图里，加一条边，让最大的强联通分量（点数最多）尽可能大。

想法上并不太难：先求全部的强联通分量，然后把每个强联通分量看成一个“大点”，这样的“新图”无圈，每个“大点”有权值，权值等于这个强联通分量里的顶点数，还要记录每个联通分量里标号最小的点和标号次小的点。因为新图无圈，于是可以求一条最长链（一条链，链上的权值“大点”和尽可能大）。这个可以用dp 具体就是, dp[x]= max(dp[y]+w[x])。以 “大点”x为结尾的最长链，是所有以能指向x的点y结尾的最长链的权值与x的权值和。（w[x]表示x的权值），这个过程中记录开头大点和结尾大点的最小的原图顶点。最后输出即可，有些特殊情况，例如最优的最长链只有一个“大点”，这时根本不用加边，所以非要加条边的话，只要加1 2即可。

题目的时限很宽泛。



F  80er’s Memory

Flee的题，简单题。就是给定一个集合的单词。然后问后面给定的每组单词有几个在给定的集合里，直接用set查找即可。



G  Reforestation

Flee的题，中等题。首先利用类似最短路的方法求出每棵树最终生长了多长时间，也就是最终树的半径。具体做法是，初始所有的树都是没停止生长的。然后对于每棵没停止生长的树，与其他所有树求一下可以生长多久，然后把时间最小的标记为停止生长。直到所有树都停止生长。

接下来，就是2分时间，对于每个时间，可以知道在这个时间时每棵树的大小。然后用圆的2条切线求出阻碍的区域，这实际上是个极角的区间。求出所有区间的并，如果覆盖了0到2*pi，则可以，否则不行。后半部分的做法应该是经典且常见的做法了，就是问一些圆能否包含一个点，这样类似的题有很多。思路是这样的，好像很容易写错，这题还rejudge了。



H  Treasure Map

hh的题，这次比赛的难题。（第2难的应该是E）规模有点吓人。纯搜索题，不过要用dancing link（跳跃表）。就是一个n*m列的表，每个小块可以覆盖一些列，然后要完全覆盖(不重叠)。这是最直白的dancing link了，但是规模太吓人了，而且要求块数最少，因此并不是求到解后就退出，而是要求出所有解来。但是跳跃表写好后效率却出奇的高。对于dancing link，我的认识还不是很深刻，因为我出了一道规模上比这个题小很多的题大概只有不到20列，但效率却出奇的低（没选用）。无论如何，这道规模大的吓人的题，可以用跳跃表以极高的效率解决掉。



I  A Stack or A queue

     我出的题，也是简单题。不用多说了，两个一样的，不回文就是queue, 回文就是either，两个反序的话就是stack，否则是neither。



J  Dream city

     我出的题，中等题。其实只要想清楚一个问题，最后选的m棵树，一定是按b从小到大的顺序选的。这是因为如果选定了m棵树（x1,x2…xm），这些树的增量实际上是0*b[x1]+1*b[x2]+2*b[x3]+…+(m-1)*b[xm]，显然由排序不等式，顺序和最大。这样只要按b排序，然后是一个简单的dp，dp[j]表示前j棵树在前i天的最大收益。反复使用dp[j]即可。

   外层循环i=0..m

   内层循环两次:

(1)  j from n-1 downto i   dp[j+1]= =dp[j]+a[j]+i*b[j];

(2)  j=i+1 to n   dp[j+1]=max(dp[j+1],dp[j])

最后dp[n]为结果

Dp复杂度是O(m*n)。另外，其实如果单纯的思考，可以构造一个2分图，左边m个点代表m天，右边n个点代表n棵树，权值是第i天取第j棵树的收益，然后求最佳匹配。但是这样一般会超时，因为复杂度极高。



K K-Nice

Navi的题。比较简单，构造法，构造方法很多吧。起初矩阵全0，然后最外圈不变，对中间的(n-2)*(m-2)的子阵，一行一行的，从左到右分别填写1,2,3…直到(n-2)*(m-2)-k即可。