[家里蹲大学数学杂志]第030期复旦大学2010年实分析竞赛试题参考解答

1设 $f$ 是实直线 $\bbR$ 上的实函数, 若有常数 $M>0$ 使得对任何有限个两两不同的实数 $x_1,\cdots,x_n$ 都有 $\dps{\sev{\sum_{i=1}^nf(x_i)}\leq M}$. 证明: $\sed{x;\ f(x)\neq 0}$ 是至多可数的.

解答: 首先说明对 $\forall\ n\in \bbN$, $A_n=\sed{x;\ f(x)>1/n}$ 是有限集 (个数不超过 $n([M]+1)$). 若不然, $$\bex \sum_{x\in A_n} f(x) >\frac{1}{n}\sum_{n\in A_n}1 >\frac{1}{n}\cdot n([M]+1)>M, \eex$$ 这是一个矛盾. 其次, 同上论述, $B_n=\sed{x;\ f(x)<-1/n}$ 也是有限集. 于是 $$\bex \sed{x;\ f(x)\neq 0}=\cup_{n=1}^\infty\sex{A_n\cup B_n} \eex$$ 是至多可数的.

 

 

2设$E$ 是实直线 $\bbR$ 上的 $Lebesgue$ 可测集, 且 $m(E)<\infty$. 证明: $$\bex \lim_{n\to\infty}\int_E e^{inx}\rd x=0. \eex$$ 这里 $m$ 表示 $Lebesgue$ 测度.

解答: 由 $m(E)<\infty$ 知 $\chi_E\in L^1(\bbR)$, 而所证即为标准的 $Riemann-Lebesgue$ 引理.

 

 

3设 $f$ 是 $[0,1]$ 上实的 $Lebesgue$ 可测函数, 并且 $\bbZ$ 是整数集. 证明: $$\bex \lim_{n\to\infty}\int_0^1 \sev{\cos f(x)}^n\rd x =m\sex{f^{-1}(\pi \bbZ)}. \eex$$

证明: 注意到 $\sev{\cos f(x)}^n\leq 1$ 及 $$\bex \sev{\cos f(x)}^n\stackrel{a.e.}{\to} \chi_{f^{-1}(\pi \bbZ)}, \eex$$ 我们由 $Lebesgue$ 控制收敛定理得到结论.

 

 

4对 $\sigma$-有限的测度空间 $(X,\varSigma,\mu)$, 设 $f$ 是 $X$ 上的非负可测函数, 记 $$\bex \mu\sex{f>t}=\mu\sed{x;\ f(x)>t}. \eex$$ 证明: $$\bex \int_X f\rd\mu=\int_0^\infty \mu\sex{f>t}\rd t. \eex$$

证明: 由 $Fubini$ 定理, $$\bex \int_X f\rd\mu =\int_X \int_0^{f}\rd t\rd\mu =\int_0^\infty \int_X \chi_{f>t}\rd\mu \rd t =\int_0^\infty \mu(f>t)\rd t. \eex$$