[家里蹲大学数学杂志]第282期华中师范大学2010年数学专业复变函数复试试题参考解答

3. 设 $$\bex f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}. \eex$$

(1) 求 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内的 Taylor 展式.

(2) 求 $f(z)$ 在圆环 $1<|z|<2$ 内的 Laurent 展式.

(3) 求 $f(z)$ 在圆环 $|z|>2$ 内的 Laurent 展式.

解答: (1) $$\beex \bea f(z)&=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\\ &=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}} +\frac{1}{1-z}\\ &=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{z}{2}}^n +\sum_{n=0}^\infty z^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \sex{1-\frac{1}{2^{n+1}}}z^n,\quad |z|<1. \eea \eeex$$ (2) $$\beex \bea f(z)&=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\\ &=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}} -\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}\\ &=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{z}{2}}^n -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^n}\\ &=-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^n}-\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^{n+1}},\quad 1<|z|<2. \eea \eeex$$ (3) $$\beex \bea f(z)&=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\\ &=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}} -\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}\\ &=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{2}{z}}^n -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{1}{z}}^n\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}-1}{z^n},\quad |z|>2. \eea \eeex$$

 

 

 

4. 应用留数定理计算实积分 $\dps{I(x)=\int_{-1}^1\frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\ (|x|>1,x\in\bbR)}$.

解答: $$\beex \bea I(x)&=\int_{-1}^1 \frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}\quad(t=\sin\tt)\\ &=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\rd \tau}{\sin\tau-x}\quad(\pi-\tt=\tau)\\ &=\frac{1}{2}\sez{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} +\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}}\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}\\ &=\frac{1}{2}\int_{|z|=1}\frac{1}{\frac{z-z^{-1}}{2i}-x}\cdot \frac{\rd z}{iz}\\ &=\int_{|z|=1}\frac{\rd z}{z^2-2ixz-1}\\ &=\sedd{\ba{ll} 2\pi i\cdot \underset{z=i(x+\sqrt{x^2-1})}{\Res}\cfrac{1}{z^2-2ixz-1},&x<-1\\ 2\pi i\cdot \underset{z=i(x-\sqrt{x^2-1})}{\Res}\cfrac{1}{z^2-2ixz-1},&x>1 \ea}\\ &=\sedd{\ba{ll} \cfrac{\pi}{\sqrt{x^2-1}},&x<-1\\ -\cfrac{\pi}{\sqrt{x^2-1}},&x>1 \ea}\\ &=-\frac{\pi}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}. \eea \eeex$$ 

 

来源: 第5卷第276期_华中师范大学2010年数学专业复变函数复试试题参考解答