[家里蹲大学数学杂志]第292期西南师范大学2000年高等代数考研试题参考解答

 

 

1 ($10'$) 证明: 若 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$, 则 $$\bex \vec{a}\times \vec{b}=\vec{b}\times \vec{c}=\vec{c}\times\vec{a}. \eex$$ 并说明其几何意义.

解答: 由对称性仅须证明 $$\bex \vec{a}\times \vec{b}=(-\vec{b}-\vec{c})\times \vec{b} =-\vec{c}\times \vec{b} =\vec{b}\times \vec{c}. \eex$$ 此说明: 平面的法向量可由平面内两不平行的向量决定, 且不依赖于其选取.

 

2 ($10'$) 给定方程 $\dps{\cfrac{x^2}{a^2-k}+\cfrac{y^2}{b^2-k}+\cfrac{z^2}{c^2-k}=1\ (a>b>c>0)}$. 问当 $k$ 取异于 $a^2,b^2,c^2$ 的各种实数时, 方程代表什么曲面?

解答: 显然,

(1) 若 $k>a^2>b^2>c^2$, 则方程代表 $\vno$.

(2) 若 $a^2>k>b^2>c^2$, 则方程代表双叶双曲面.

(3) 若 $a^2>b^2>k>c^2$, 则方程代表单叶双曲面.

(4) 若 $a^2>b^2>c^2>k$, 则方程代表椭球面.

 

3 ($10'$) 设 $a_{ij}\in\bbZ,\ i,j=1,\cdots,n$, $k\in\bbZ$, $k\geq 2$. 证明: $$\bex D_n=\sev{\ba{cccc} a_{11}-\cfrac{1}{k}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}-\cfrac{1}{k}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\cfrac{1}{k} \ea}\neq 0. \eex$$

证明: $$\bex D_n=\sev{A-\cfrac{1}{k}E}=(-1)^n\sev{\cfrac{1}{k}E-A}. \eex$$ 考虑多项式 $f(x)=|xE-A|=x^n+\cdots+(-1)^n|A|,$ 其若有有理根 $\cfrac{s}{t}$, 则 $t\mid 1$, $s||A|$. 而 $f$ 的有理根均为整数, 故 $D_n=f\sex{\cfrac{1}{k}}\neq 0$.

 

4 ($10'$) 设 $f(x)\in \bbZ[x]$, $f(x)$ 被 $x-1,x-2,x-3$ 除后余式分别为 $4,8,16$. 求 $f(x)$ 被 $(x-1)(x-2)(x-3)$ 除后的余式.

解答: 设所求余式为 $r(x)=ax^2+bx+c$, 则 $$\bex \sedd{\ba{ll} a+b+c&=r(1)=f(1)=4,\\ 4a+2b+c&=r(2)=f(2)=8,\\ 9a+3b+c&=r(3)=f(3)=16. \ea} \eex$$ 解得 $a=2, b=-2, c=4$. 故所求为 $r(x)=2x^2-2x+4$.

 

5 ($20'$) 设 $V$ 是数域 $\bbF$ 上 $n$ 维线性空间, $f$ 是 $V$ 到 $\bbF$ 的线性映射, 即对 $\forall\ \al,\beta\in V$, 有 $f(\al+\beta)=f(\al)+f(\beta)$, $f(k\al)=k f(\al)$. 令 $$\bex V^*=\sed{f;f\mbox{ 是 }V\mbox{ 到 }\bbF\mbox{ 的线性映射}}, \eex$$ $V^*$ 中加法和数乘按照线性变换加法和数乘定义. 证明:

(1) $V^*$ 为 $\bbF$ 上线性空间.

(2) $V^{**}\cong V$.

证明:

(1) 直接验证有之.

(2) 取 $V$ 的一组基 $\ve_1,\cdots,\ve_n$, 考虑 $f_i\in V^*$ 使得 $$\bex f_i(\ve_j)=\delta_{ij}=\sedd{\ba{ll}0,&i\neq j,\\ 1,&i=j.\ea} \eex$$ 则 $f_1,\cdots,f_n$ 为 $V^*$ 的一组基. 事实上, 对 $\dps{\forall\ \al=\sum_{i=1}^n a_i\ve_i}$, $$\beex \bea f(\al)&=\sum_{i=1}^n a_if(\ve_i)\\ &=\sum_{i=1}^n f_i(\al)f(\ve_i)\\ &=\sex{\sum_{i=1}^n f(\ve_i)f_i}(\al). \eea \eeex$$ 既然 $\dim V=\dim V^*=n$, 我们知其同构.

 

6 ($20'$) 设 $A,C$ 为 $n$ 阶正定矩阵, 若矩阵方程 $AX+XA=C$ 有唯一解 $B$. 证明: $B$ 是正定阵.

证明: 对 $AB+BA=C$ 作转置有 $$\bex B^TA+AB^T=C. \eex$$ 由解的唯一性, $B^T=B$. 故 $B$ 为对称阵. 为证 $B$ 是正定阵, 仅须验证 $B$ 的任一特征值 $\lm>0$. 设 $\al\neq 0$ 为其对应的特征向量, 则 $$\beex \bea 0&<\al^TC\al\\ &=\al^T(AB+BA)\al\\ &=\al^TA(B\al)+(B\al)^TA\al\\ &=\lm\al^TA\al+\lm\al^TA\al\\ &=2\lm\al^TA\al. \eea \eeex$$

 

7 ($10'$) 设 $f,g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换, 证明: $$\bex \dim \ker(fg)\leq \dim \ker f+\dim \ker g. \eex$$

证明: 由 $g(\al)=0\ra fg(\al)=$ 知 $\ker g\subset \ker (fg)$. 设 $\al_1,\cdots,\al_r$ 为 $\ker g$ 的一组基, 将其扩充为 $\ker(fg)$ 的一组基 $\al_1,\cdots,\al_r,\cdots,\al_s$. 则读者可以验证 (留作习题) $g(\al_{r+1}),\cdots,g(\al_s)\in\ker f$ 是线性无关的. 于是 $$\beex \bea s-r&\leq \dim \ker f,\\ s&\leq \dim \ker f+r,\\ \dim \ker fg&\leq \dim \ker f+\dim \ker g. \eea \eeex$$

 

8 ($10'$) 设 $A$ 为 $3\times 2$ 矩阵, $B$ 为 $2\times 3$ 矩阵. 已知 $$\bex AB=\sex{\ba{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \ea}. \eex$$ 证明: $BA=9E_2$.

证明: 由 $$\bex \lm(\lm-9)^2=|\lm E-AB|=\lm|\lm E-BA| \eex$$ 知 $|\lm E-BA|=(\lm-9)^2$, 而 $BA$ 的特征值为 $9$ (二重), 是可逆的. 再注意到 $$\beex \bea (AB)^2&=9AB,\\ B(AB)^2A&=9B(AB)A,\\ (BA)^3&=9(BA)^2,\\ BA&=9E_2\quad(BA\mbox{ 可逆}). \eea \eeex$$