[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.5

若 $f'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上拦蓄, 且 $f'(x)\geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x}\leq \frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}. \eex$$ (东北师范大学)

 

证明: $$\beex \bea \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x} &=\sev{\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} f(x)\rd \cos nx}\\ &\leq \frac{f(2\pi)-f(0)}{n}+\frac{1}{n}\sev{\int_0^{2\pi}f'(x)\cos nx\rd x}\\ &\leq \frac{f(2\pi)-f(0)}{n}+\frac{1}{n}\int_0^{2\pi}f'(x)\rd x\\ &=\frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}. \eea \eeex$$