[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.11

函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[\al,\beta]$ ($a\leq \al<\beta\leq b$), 不等式 $$\bex \sev{\int_\al^\beta f(x)\rd x}\leq M|\beta-\al|^{1+\delta}\quad (M,\delta\mbox{ 是正常数}) \eex$$ 成立. 证明: 在 $[a,b]$ 上, $f(x)\equiv 0$. (国外赛题)

 

证明: 设 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t}$, 则 $$\bex \sev{\frac{F(\beta)-F(\al)}{\beta-\al}}\leq M|\beta-\al|^\delta. \eex$$ 令 $\beta \to \al^+$, 则 $$\beex \bea \serd{\ba{rr} F'(\al)=F'_+(\al)=0\\ F(a)=0 \ea} &\ra F(\al)=0\ (a\leq \al\leq b)\\ &\ra f(\al)=F'(\al)=0\ (a\leq \al\leq b). \eea \eeex$$