[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.3

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 并且 $f(1)-f(0)=1$. 证明 $$\bex \int_0^1 f'^2(x)\rd x\geq 1. \eex$$ (国外赛题)

证明: $$\bex 1=[f(1)-f(0)]^2=\sev{\int_0^1 f'(x)\rd x}^2\leq \int_0^1 1^2\rd x\cdot \int_0^1 f'^2(x)\rd x =\int_0^1 f'^2(x)\rd x. \eex$$