[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.13

设 $f(x)$ 于任一有限区间 $[0,a]\ (a>0)$ 上正常可积, 于 $[0,\infty)$ 上绝对可积, 则 $$\bex \vlm{n}\int_0^\infty f(x)|\sin nx|\rd x =\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\rd x. \eex$$ (南京大学)

 

解答: 在例 4.5.32 中取 $g(x)=|\sin x|$, $x\in [0,\pi]$, 由 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\pi |\sin x|\rd x=\frac{2}{\pi} \eex$$ 即知结论. 另外, 还可以由例 5.4.18 (Fourier 级数的办法) 来证明.