[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.17

已知积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin \beta x}{x}\rd x=\frac{\pi }{2}\sgn \beta}$ (见例 7.1.38), 求积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x}$. (华北电力学院)

 

解答: $$\beex \bea \int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x &=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{\sin x(t-1)+\sin x(1-t)}{x}\rd x\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}\sez{\sgn(t+1)+\sgn (1-t)}\\ &=\sedd{\ba{ll} 0,&|t|>1,\\ \cfrac{\pi}{4},&|t|=1,\\ \cfrac{\pi}{2},&|t|<1. \ea} \eea \eeex$$