张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第5节 凸集与不动点习题解答

1.含内点的真凸子集的性质

 设 $\scrX$ 是 $B^*$ 空间, $E$ 是以 $0$ 为内点的真凸子集, $P$是由 $E$ 产生的 $Minkowski$ 泛函. 求证:

(1)    $x\in \stackrel{o}E\lra P(x)<1$.

(2)    $\dps{\overline{\stackrel{o}E}=E}$.

证明:

(1)    一方面, $$\bex x\in \stackrel{o}E &\ra& \exists\ \ve>0,\ s.t.\ \frac{x}{1/(1+\ve)}=x+\ve x\in E\\ &\ra&P(x)\leq \frac{1}{1+\ve}<1. \eex$$ 另一方面, 若 $P(x)<1$, 则

$$\bex x=\frac{x}{P(x)+\sez{1-P(x)}}\in E. \eex$$ 由 $P$ 之连续性知 $x\in \stackrel{o}E$.

(2)    易知 $\overline{\stackrel{o}E}\subset \overline{E}$. 由

$$\bex \overline{\stackrel{o}E}&=&\overline{\sed{x\in \scrX;\ P(x)<1}}\\ &=&\sed{x\in\scrX;\ P(x)\leq 1}\\ & &\sex{\mbox{对 }x:P(x)=1,\mbox{有 } \frac{x}{1+1/n}\to x\mbox{且 } P\sex{\frac{x}{1+1/n}}=\frac{n}{n+1}<1}\\ &\supset&\overline{E}\ \sex{E\subset \sed{x\in\scrX;\ P(x)\leq 1}\mbox{ 闭集}} \eex$$ 即知结论.

 

 

2.列紧集的凸包

 求证在 $B$ 空间中, 列紧集的凸包是列紧集.

证明:

(1)    首先证明若 $A=\sed{x_1,x_2,\cdots,x_n}$, 则其凸包

$$\bex co(A)=\sed{\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i;\ x_i\in A,\ \lambda_i\geq 0,\ \sum_{i=1}^n=1} \eex$$ 是列紧的. 事实上, 设 $\sed{x^k}_{k=1}^\infty\subset co (A)$, 其中

$$\bex x^k=\sum_{i=1}^k \lambda^k_i x_i,\ \lambda^k_i\geq 0, \ \sum_{i=1}^n \lambda^k_i=1. \eex$$ 则 $$\bex \sed{\lambda^k_1}_{k=1}^\infty\subset [0,1]\ra \exists\ \lambda^{k^1_j}_1\to \lambda_1\in [0,1]; \eex$$ $$\bex \sed{\lambda^{k^1_j}_2}_{j=1}^\infty \ra \exists\ \lambda^{k^2_j}_2\to \lambda_2\in [0,1]; \eex$$ $$\bex \cdots \eex$$ $$\bex \sed{\lambda^{k^{n-1}_j}_{j=1}}^\infty\subset [0,1]\ra \exists\ \lambda^{k^n_j}_2\to \lambda_n\in [0,1]. \eex$$ 若记 $\dps{x=\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i}$, 则 $$\bex \sum_{i=1}^n \lambda_i =\sum_{i=1}^n \lim_{j\to\infty}\lambda^{k^n_j}_i =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \lambda^{k^n_j}_i=1, \eex$$ 且 $$\bex \sen{x^{k^n_j}-x} &=&\sen{\sum_{i=1}^n \sex{\lambda^{k^n_j}_i-\lambda_i}x_i}\\ &\leq&\sum_{i=1}^n \sev{\lambda^{k^n_j}_i-\lambda_i}\cdot\sen{x_i}\\ &\to&0\quad (j\to\infty). \eex$$

(2)    其次设 $B$ 是列紧的, 为证 $co(B)$ 也是列紧的, 由题 第1章第3节第1题 知, 仅需

验证对 $\forall\ \ve>0$, $co(B)$ 有列紧的 $\ve$ 网. 注意到 $\forall\ \ve>0$, $B$ 有一有穷 $\ve$ 网 $A$. 由于 $co(A)$ 是列紧的, 我们仅需确定 $co(A)$ 是 $co(B)$ 的 $\ve$ 网. 事实上, $$\bex y\in co(B)&\ra& y=\sum_{i=1}^n \lambda_iy_i,\ y_i\in B,\ \lambda_i\geq 0,\ \sum_{i=1}^n \lambda_i=1\\ &\ra&\forall\ 1\leq i\leq n,\ \exists\ x_i\in A,\ s.t.\ \sen{y_i-x_i}<\ve\\ &\ra&x=\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\in co(A),\ \sen{y-x}\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i\sen{y_i-x_i}<\ve. \eex$$

 

 

3.不动点存在性的一个充分条件

 设 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\scrX$ 中的一个紧凸集, 映射 $T:C\to C$ 连续. 求证 $T$ 在 $C$ 上有一个不动点.

证明: $T(C)$ 作为列紧集 $C$ 的子集, 是列紧的. 故由 $Schauder$ 不动点定理, $T$ 在 $C$ 上有一个不动点.

 

 

4.不动点存在性的一个充分条件---压缩映射与紧映射的和

 设 $C$ 是 $B$ 空间 $\scrX$ 中的一个有界闭凸集, 映射 $T_i:C\to C (i=1,2)$ 适合

(1)$\forall\ x,y\in C\ra T_1x+T_2y\in C$;

(2) $T_1$ 是一个压缩映射, $T_2$ 是一个紧映射. 求证: $T_1+T_2$ 在 $C$ 上至少有一个不动点.

证明: 注意到 $\exists\ c\in C$, s.t. $$\bex (T_1+T_2)c=c&\lra& T_2c=(I-T_1)c\\ &\lra&(I-T_1)^{-1}T_2c=c. \eex$$ 由 $Schauder$ 定理, 为证结论我们仅须验证

(1) $(I-T_1)^{-1}$ 存在且连续. 这是因为 $T_1$ 是压缩的, 而 $$\bex \exists\ \alpha\in (0,1),\ s.t.\ \sen{T_1x-T_2x}\leq \alpha \sen{x-y} \quad \sex{\forall\ x,y\in C}, \eex$$ $$\bex \sen{(I-T_1)x-(I-T_1)y} \geq \sen{x-y}-\sen{T_1x-T_1y} \geq (1-\alpha)\sen{x-y}. \eex$$

(2) $R(T_2)\subset Dom\sex{I-T_1}^{-1}$. 事实上， 对 $z\in R(T_2),\ \exists\ w\in C,\ s.t.\ z=T_2w$. 构造映射 $$\bex \ba{cccc} T:&C&\to&C\\ &x&\mapsto&z+T_1x=T_2w+T_1x. \ea \eex$$ 由于 $T_1$ 是压缩的, $C$ 是闭的, 应用压缩映象原理, $$\bex \exists\ x_0\in C,\ s.t.\ z+T_1x_0=x_0, \eex$$ 而 $$\bex z=(I-T_1)x_0 \in R(I-T_1) =Dom(I-T_1)^{-1}. \eex$$

 

 

5.元素均为正的矩阵的特征值

 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵, 其元素 $a_{ij}>0\ (1\leq i,j\leq n)$. 求证: 存在 $\lambda>0$ 及各分量非负但不全为零点向量 $x\in\bbR^n$, 使得 $$\bex Ax=\lambda x. \eex$$

证明: 考虑 $\bbR^n$ 中的紧凸集 $$\bex C=\sed{y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\bbR^n;\ \sum_{i=1}^ny_i=1,\ y_i\geq 0\ (i=1,2,\cdots,n)}. \eex$$ 构造映射 $$\bex \ba{ccc} C&\to&C\\ y&\mapsto&\dps{\frac{Ay}{\dps{\sum_{j=1}^n(Ay)_j}}}, \ea \eex$$ 则 $$\bex \exists\ x\in C,\ s.t.\ x=\frac{Ax}{\dps{\sum_{j=1}^n(Ax)_j}}\ \sex{\sum_{j=1}^n(Ay)_j>0}, \eex$$ 即 $$\bex Ax=\sez{\sum_{j=1}^n(Ax)_j}x. \eex$$

 

 

6.核为正的连续函数的积分算子的特征值

 设 $K(x,y)$ 是 $[0,1]\times [0,1]$ 上的正值连续函数, 定义映射 $$\bex (Tu)(x)=\int_0^1 K(x,y)f(y)\rd y\quad \sex{\forall\ u\in C[0,1]}. \eex$$ 求证: 存在 $\lambda>0$ 及非负但不恒为零的连续函数 $u$, 满足 $$\bex Tu=\lambda u. \eex$$

证明: 考虑 $C[0,1]$ 中的闭凸集 $$\bex C=\sed{f\in C[0,1];\ \int_0^1f(x)\rd x=1,\ f\geq 0}. \eex$$ 构造映射 $$\bex \ba{cccc} \tilde T:&C&\to&C\\ &f&\mapsto&\dps{\sed{[0,1]\ni x\mapsto \frac{Tu(x)}{\int_0^1\int_0^1 K(x,y)f(y)\rd y\rd x}}}. \ea \eex$$ 为应用 $Schauder$ 不动点定理, 我们去验证 $T(C)$ 是列紧的. 而由 $Ascoli-Arzela$ 定理, 仅须 $T(C)$ 是一致有界且等度连续的. 由 $0<K\in C([0,1]\times [0,1])$ 知 $$\bex \exists\ 0<m<M<\infty,\ s.t.\ m\leq K(x,y)\leq M\quad \sex{\forall\ x,y\in [0,1]}, \eex$$ 而对 $\forall\ f\in C$, $$\bex \sen{\tilde Tf}\leq \frac{M}{m}, \eex$$ $$\bex \sev{\tilde Tf(x_1)-\tilde Tf(x_2)} &=&\frac{\sev{\int_0^1 \sez{K(x_1,y)-K(x_2,y)}f(y)\rd y}}{ \int_0^1\int_0^1K(x,y)f(y)\rd y\rd x}\\ &\leq&\frac{1}{m}\int_0^1\sev{K(x_1,y)-K(x_2,y)}\cdot\sev{f(y)}\rd y\\ &<&\ve\quad \sex{\sev{x_1-x_2}\mbox{ 小}}. \eex$$ 这样, 由 $Schauder$ 不动点定理, $$\bex \exists\ u\in C,\ s.t.\ Tu=\lambda u, \eex$$ 其中 $$\bex \lambda=\int_0^1\int_0^1K(x,y)f(y)\rd y\rd x \geq m>0. \eex$$