[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.9

9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗?

 

 

解答: 当 $k=1$ 时, $C_k(A)$ 就是 $A$ 的每个元素. 故 $C_k$ 是单射也是满射. 当 $k\geq 2$ 时, 一般地, $C_k$ 不是单射, 比如 $$\bex \sex{\ba{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \ea},\quad \sex{\ba{cccc} 0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \ea} \eex$$ 具有相同的 $k$ 阶子式, 但不相等. $C_k$ 也不是满射, 这是因为 $$\bex n\geq 3\ra \sex{n\atop 2}>n. \eex$$