Nim游戏(组合游戏Combinatorial Games)

  http://baike.baidu.com/view/1101962.htm?fr=aladdin

  Nim游戏是博弈论中最经典的模型(之一),它又有着十分简单的规则和无比优美的结论

  Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG)。

  通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“每次一个游戏者可以从任意一堆中拿走至少一颗石子,也可以整堆拿走,但不能从多堆火柴中同时拿”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。

  这游戏看上去有点复杂,先从简单情况开始研究吧。

  (1)轮到你的时候,只剩下一堆石子,那么此时的必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完一颗也不给对手剩,然后对手就输了。

  (2)剩下两堆不相等的石子,必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等,以后如果对手在某一堆里拿若干颗,你就可以在另一堆中拿同样多的颗数,直至胜利。

  (3)你面对的是两堆相等的石子,那么此时你是没有任何必胜策略的,反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。(必败状态(x,x,0,...0))

  如果是三堆石子……好像已经很难分析了,看来我们必须要借助一些其它好用的(最好是程式化的)分析方法了,或者说,我们最好能够设计出一种在有必胜策略时就能找到必胜策略的算法。

  定义P-position和N-position,其中P代表Previous,N代表Next。直观的说,上一次 move的人有必胜策略的局面是P-position,也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”,现在轮到move的人有必胜策略的局面是N- position,也就是“先手可保证必胜”。更严谨的定义是: 1.无法进行任何移动的局面(也就是terminal position)是P-position;2.可以移动到P-position的局面是N-position;3.所有移动都导致N-position 的局面是P-position。
  按照这个定义,如果局面不可能重现,或者说positions的集合可以进行 拓扑排序,那么每个position或者是P-position或者是N-position,而且可以通过定义计算出来。
 

结论:

  对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an),它 是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0,其中^表示异或(xor)运算。怎么样,是不是很神奇?我看到它的时候也觉得很神奇,完全没有道理的和 异或运算扯上了关系。但这个定理的证明却也不复杂,基本上就是按照两种position的证明来的。

你可能感兴趣的:(games)