组合数学 - 母函数 --- 模板 + 详解
Square Coins
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one 4-credit coin and six 1-credit coins,
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one 9-credit coin and one 1-credit coin.
Your mission is to count the number of ways to pay a given amount using coins of Silverland.
Mean:
略
analyse:
母函数的模板题。后面会讲有关母函数的介绍。
Time complexity：O(n^3)
Source code：
// Memory Time
// 1347K 0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-18-10.23
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 305
#define LL long long
using namespace std;
vector<int> val;
vector<int>c1(N),c2(N);
void make_square()
{
for(int i=1;i<=18;++i)
val.push_back(i*i);
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
// freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);
// freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);
make_square();
int n;
while(cin>>n,n)
{
for(vector<int>::iterator iter=c1.begin();iter!=c1.end();++iter)
*iter=1;
c2.clear();
for(int i=2;i<=17;++i)
{
for(int j=0;j<=n;++j)
{
for(int k=0;k+j<=n;k+=val[i-1])
{
c2[j+k]+=c1[j];
}
}
for(int j=0;j<=n;++j)
{
c1[j]=c2[j];
c2[j]=0;
}
}
cout<<c1[n]<<endl;
}
return 0;
}
母函数（Generating Function）
No1.What is the Generating Function?
我只说我的理解，其他的官方定义自行百度。
首先，母函数是一个序列的表达式，由他可以表达一个有规律的序列，我们通过它可以求得这个序列，从而解决一些问题。
母函数，顾名思义，就是母亲，那就说明，在这个函数里面还有儿子，即子函数。说白了，就是子函数可以看作是母函数的一个子集。
而如何把这些子函数用一个母函数来表示呢？即所谓的通项公式，我个人觉的这是问题的症结之处，解决了这一症结，那么，后面的问题就容易多了。
为什么母函数具有这样的功能呢?
从这两句话中你可能有一些启发：
"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"
"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "
No2.What type of problem for Generating Function?
母函数有普通型的，也有指数型的，当然，在ACM中指数型的至今还未碰到，所以这里只讲一下普通型的。
我们知道，母函数在组合数学中运用得非常广泛，主要是用来求解可重集的组合数。
母函数最近经典的运用莫过于整数拆分，即：对于给定的一个数n，问n的拆分有多少种情况？
又如：有n种物品，其中第i种物品有a1个，第二种有a2个，第三种有a3个....而且第1个物品的价值为v1，第二个的为v2....现在问你从中选择若干件物品出来，使得这些物品的价值之和为m，共有多少种选择方式？
这就是母函数的原形，母函数就是求解这类问题的。
No3.How to Structure a Generating Function for a problem?
构造一个序列的母函数，这个要看具体问题，并没有真正通用的模板，但是母函数的构造有很多相同之处。
下面用一个例子来说明：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来接吻这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，两个2克的砝码可以用函数1+x4表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，两个三克的可以用函数1+x6表示，...
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，....
我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。
1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。
这里说下各项系数的意义：
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。
No4.How to solve polynomial expanasion?
可以说整个母函数求解过程中，多项式的展开是一个难点，也是解题的关键。
多项式展开：
我们用两个数组c1[],c2[]来求解，c1[i]=b表示： xi 前面的系数为b，即表示bxi 的系数b；
而c2[]数组只起到中间存值的作用，它是用来维护c1迭代的不变性的。
步骤：
1)根据第一个表达式(第一个括号)给c1赋初值;
2)从第二个表达式开始，依次与c1合并，并将中间结果保存到c2[],然后将c2复制给c1，c2清零。
3)重复第二步，直到所有的表达式都合并完成。
4)统计得出答案(具体看题目要求)。
模板代码：
//
//第1种物品的价值为1，有无限个；
//第2种物品的价值为2，有无限个；
//第3种物品的价值为3，有无限个；
//.......
//问取出一些物品的价值总和为n的取法有多少个？
#include <iostream>
using namespace std;
const int _max = 10001;
int c1[_max], c2[_max];
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存每一次的情况，维持c1的不变性
int main()
{
int nNum;
int i, j, k;
while(cin >> nNum) //要组合的目标数
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ① 首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) // -----③j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4....)里，第j个就是x2*j.
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④ k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0;
}