#莫队小结(入门)

集训DayN。。。。
今天讲了好多东西,莫队, cdq分治,莫比乌斯反演(这个会不会太恶心了)

还是讲莫队吧。
莫队,一种优雅的暴力,它的思想其实和分治比较相似,将一串离线的数列进行分块,以达到查询的目的(区间查询神器)。洛谷上的P1972用莫队貌似过不了最后两个点,几经尝试都未能AC。然后我就滚去做了P2709 小B的询问

题目描述

小B有一个序列,包含N个1~K之间的整数。他一共有M个询问,每个询问给定一个区间[L..R],求Sigma(c(i)^2)的值,其中i的值从1到K,其中c(i)表示数字i在[L..R]中的重复次数。小B请你帮助他回答询问。

输入输出格式

输入格式:

第一行,三个整数N、M、K。

第二行,N个整数,表示小B的序列。

接下来的M行,每行两个整数L、R。

输出格式:

M行,每行一个整数,其中第i行的整数表示第i个询问的答案。

输入输出样例

输入样例#1:
6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6
输出样例#1:
6
9
5
2

说明

对于全部的数据,1<=N、M、K<=50000



(上了不到半小时课然后自己琢磨一下写博客我觉得会翻车)

我们直接来模拟一下样例。

这里,n6m4k3。(莫名蠢。。)

一个序列,包含6个整数,题目给出4个询问,3表示要求查询的数字是[1,3]

然后我们得到的数列是1 3 2 1 1 3

要求查询下标[1,4]中Sigma c[i]^2的值(于是Sigma的正确写法我也不知道)

也就是4+1+1=6       (1出现了两次,得到2^2=4, 2出现1次,3出现1次,结果得到6)

然后这样题意就很清晰了。  我们理一下解题的思路。

首先看到区间查询就想到了用线段树和树状数组来维护(然而本沙茶都实现不了)

打开算法标签你就能看到,这题不比卡莫队的P1972标有前缀和,二分答案,线段树,树状数组。它只标有莫队。(搜莫队找的题不标莫队那就是搜索出问题了)

当然,我们可以使用大暴力,复杂度当然是十分令人窒息的,代码应该除了我大家都会。

应该是O(n*m)的吧,于是我们有了一个比较优雅的暴力---莫队算法。(本题就是个裸的莫队)

莫队算法要求我们必须O(1)移动相邻的区间,否则复杂度也会非常窒息。

我们可以先将这n个数分成sqrtn)块,每个块的长度为sqrtn

据说这叫分块,我觉得可以拿分治去理解就好。

我们首先要对于所有的查询的区间进行排序,按照左端点所在块的编号(第一关键字)右端点编号(第二关键字)排序。

然后暴力查询第一个[l,r]统计答案,不断地做[l,r]+-1,直到滚到我们liri,更新答案。,

我们通过结构体在读入时预先处理好我们的询问顺序,再按照顺序输出就好啦!

这样做我们只需要对需要的区间不停的拓展[l-1,r]、[l+1,r]、[l,r-1]、[l,r+1]的答案。

( 说好模拟样例的呢?当然是口胡过去啊!!)
放上代码。


#include
#define ll long long
const int N=50100;
using namespace std;

struct Query
{
    int l,r,id,pos;
    bool operator <(const Query &x)const{if(pos==x.pos)return r'9'||c<'0';c=getchar()) if(c=='-') whs=false;
	for(;c>='0'&&c<='9';s=s*10-48+c,c=getchar());
	return whs?s:-s;
}//日常快读。 

int main()
{
    n=read();m=read();k=read();
    int len=(int)sqrt(n);//分块查询 
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
	{
        a[i].l=read();a[i].r=read();a[i].id=i;
        a[i].pos=(a[i].l-1)/len+1; 
    } 
	sort(a+1,a+m+1);
    int l=1,r=0;
	int result=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)//莫队的核心,这里可以模拟一下过程。 
	{
        while(l>a[i].l) l--,tot[b[l]]++,result+=2*tot[b[l]]-1;//(x+1)的平方等于x的平方加上两倍的x加上1,同理可得(x-1)的平方 
        while(ra[i].r) tot[b[r]]--,result-=2*tot[b[r]]+1,r--;
        ans[a[i].id]=result;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}
都说莫队是个优雅的暴力,并不爆炸的时间复杂度肯定是它的一大优势。

那么莫队它相对优秀的时间复杂度如何证明呢?

若区间长度为n,询问数量为m,对于第一个询问,处理首先是O(n)的。

 

然后对于接下来的询问,并不是很显然:

    对于左端点,我们有:

1,如果移动发生在块内,那么我们的位移量不会超过:移动次数*最大移动长度=n*sqrt(n)

2,如果移动发生在块间,那么位移量也不会超过:2n(由于我们的分块,每次最多从前一块的左端点移动到下一块的右端点)

所以左端点的移动量不会超过n^1.5+2n

    对于右端点,我们有:

1,如果左端点在同一块,位移量不会超过n

2,左端点最多被包含在sqrt(n)块中

所以右端点的移动量不会超过n^1.5

综上可得,莫队算法的时间复杂度与询问数m无关,最坏情况下为O(n^1.5)。

所以,如果题目的要求n在1e6的情况下,我们甚至也可以用莫队来尝试AC,毕竟貌似相对线段树和树状数组好写很多??而且RP好一点的话咳咳。。尝试水题。

本沙茶做的题目不多,目前也就懂这么一点点。以后把带修改莫队,树上莫队,啥啥莫队都学了。

然而对于今天的莫比乌斯反演我真的是,

看懵逼钨丝繁衍我完全具备了原地爆炸的能力。
争取明天弄懂莫比乌斯。然后明天讲的东西又不懂了emmm???

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