MLb-003 44《机器学习》周志华 第三章：线性模型

第三章 线性模型

此系列文章旨在提炼周志华《机器学习》的核心要点，不断完善中…

3.1 基本形式

• 模型内容

  • 线性模型
    函数形式：$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_d{x}_d$
    向量形式：$f(\text{x})={\text{w}}^T\text{x}+b$
  • 非线性模型：在线性模型的基础上引入层级结构或高维映射而得

• 可解释性：$w$直观表达了各属性在预测中的重要性

3.2 线性回归

• 定义：试图学的一个线性模型以尽可能准确地预测实值输出标记

• 离散属性与序关系
  有序属性值：连续化
  无序属性值：one-hot化

• 性能度量：均方误差
  均方误差最小化：$$(w^{\ast },b^{\ast })=argmi{n}_{(w,b)}\sum _{i=1}^m(f(x_i)-y_i{)}^2=argmi{n}_{(w,b)}{E}_{(w,b)}$$
  最小二乘法：基于均方误差对模型求解的方法（试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧氏距离直和最小）
  $$min{E}_{(w,b)}=\sum _{i=1}^m(y_i-w{x}_i-b{)}^2$$
  最小二乘“参数估计”
  $$\begin{array}{rl}\frac{\partial E_{(w.b)}}{\partial w}=0,& \frac{\partial E_{(w.b)}}{\partial b}=0\\ \Rightarrow & \\ w=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i(x_i-\bar{x})}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\frac{1}{m}({\sum }_{i=1}^m{x}_i{)}^2},& b=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-w{x}_i)\end{array}$$

• 多元线性回归
  秩矩阵(full-rank matrix)或正走矩阵(positive definite matrix)
  归纳偏好决定多个解的选择（常见做法：引入正则化项）

• 对数线性回归：令模型预测值逼近u的衍生物：$lny=w^{T}x+b$
  形式上认为线性回归，但实质已是再求输入空间的非线性函数映射
  线性回归模型的预测值与真实值标记联系（广义线性模型：$y=g^{-1}(w^{T}x+b)$）
  

3.3 对数几率回归（逻辑回归）

• 分类任务
  二分类：单位阶跃函数$$y=\{\begin{array}{l}0,z<0\\ 0.5,z=0\\ 1,z>0\end{array}$$
  替代函数：在一定程度上近似单位阶跃函数，单调可微，如对数几率函数：
  $$y=\frac{1}{1+e^{-z}}\text{\hspace{1em}(A)}$$
  联系
  

• 几率推导
  对数几率函数$(A)$->带入假设->变换
  $$z=w^{T}x+b\Rightarrow y=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}\Rightarrow ln\frac{y}{1-y}=w^{T}x+b$$
  将$y$视为类后验概率$P(y=1|x)\Rightarrow$
  $$ln\frac{P(y=1|\text{x})}{P(y=0|\text{x})}={\text{w}}^T\text{x}+b\Rightarrow \{\begin{array}{l}P(y=1|\text{x})=\frac{e^{w^{T}x+b}}{1+e^{w^{T}x+b}}\\ P(y=0|\text{x})=\frac{1}{1+e^{w^{T}x+b}}\end{array}$$
  几率是样本为正例和样本为负例的比值：$\frac{y}{1-y}$
  对数几率：$ln\frac{y}{1-y}$

• 优点
  直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布
  可得到近似概率预测
  对率函数任意阶可导的凸函数，方便求最优解

• 极大似然法
  凸优化理论
  经典的数值优化算法：梯度下降法、牛顿法

3.4 线性判别分析（LDA）

• LDA思想
  给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离
  $$maxJ=\frac{||{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}{\mu }_0-{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}{\mu }_1|{|}_2^2}{{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{\Sigma }}_0\mathbf{w}+{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{\Sigma }}_1\mathbf{w}}=\frac{{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{\Sigma }}_0+{\mathbf{\Sigma }}_1)\mathbf{w}}$$
  

• 二分类问题上——Fisher判别分析
  类内散度矩阵Sw：
  $$\mathbf{S}\mathbf{w}={\mathbf{\Sigma }}_0+{\mathbf{\Sigma }}_1=\sum _{\mathbf{x}\in {\mathbf{X}}_0}(\mathbf{x}-{\mu }_0)(\mathbf{x}-{\mu }_0{)}^{\mathbf{T}}+\sum _{\mathbf{x}\in {\mathbf{X}}_1}(\mathbf{x}-{\mu }_1)(\mathbf{x}-{\mu }_1{)}^{\mathbf{T}}$$
  类间散度矩阵Sb:
  $${\mathbf{S}}_{\mathbf{b}}=({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^{\mathbf{T}}$$
  LDA可从贝叶斯决策理论的角度来阐释
  Sb与Sw的广义瑞利商：LDA最大化的目标：$J=\frac{{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{S}}_{\mathbf{b}}\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{S}}_{\mathbf{w}}\mathbf{w}}$
  LDA可达到的最优分类：当两类数据同先验、满足高斯分布、协方差相等

• LDA推广到多分类
  最大化矩阵的迹$W$：$max\frac{tr({\mathbf{W}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{S}}_{\mathbf{b}}\mathbf{W})}{tr({\mathbf{W}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{S}}_{\mathbf{w}}\mathbf{W})}\to {\mathbf{S}}_{\mathbf{b}}\mathbf{W}=\lambda {\mathbf{S}}_{\mathbf{w}}\mathbf{W}$

3.5 多分类学习

• 基本思路：拆解法-将多分类任务拆为若干个二分类任务求解

• 最经典的拆分策略

  • 一对一（OvO）
  • 一对其余（OvR）
  • 多对多（MvM）
    • 最常用技术：纠错输出码（ECOC）：编码矩阵
      二元码：指定正类和反类
      三元码：指定停用类
    • OvO和OvR是MvM的特例

3.6 类别不平衡问题

• 定义：分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况
• 处理的基本方法：再平衡/再缩放
  • 代价敏感学习的基础
  • 解决现实中没有“无偏采样”的做法
    欠采样/下采样
    过采样/上采样
    阈值移动