机器学习(周志华) 参考答案 第一章 绪论 1.2

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机器学习(周志华西瓜书) 参考答案 总目录

• http://blog.csdn.net/icefire_tyh/article/details/52064910

机器学习(周志华) 参考答案 第一章 绪论

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2.与使用单个合取式来进行假设表示相比，使用“析合范式”将使得假设空间具有更强的表示能力。若使用最多包含k个合取式的析合范式来表达1.1的西瓜分类问题的假设空间，试估算有多少种可能的假设。

表1.1包含4个样例，3种属性，假设空间中有 3∗4∗4+1=49 3 ∗ 4 ∗ 4 + 1 = 49 种假设。在不考虑沉余的情况下，最多包含k个合取式来表达假设空间，显然k的最大值是49，每次从中选出k个来组成析合式，共 ΣCk49=249 Σ C 49 k = 2 49 种可能。但是其中包含了很多沉余的情况(至少存在一个合取式被剩余的析合式完全包含<空集除外>)。

如果考虑沉余的情况
在这里忽略空集，一个原因是并不是太明白空集是否应该加入析合式，另外就算需要加入，求出了前面48种假设的组合，可以很容易求出加入空集后的组合数(每种可能都可以加上空集，再加上1种空集单独的情况)。
48种假设中：
具体假设： 2∗3∗3=18 2 ∗ 3 ∗ 3 = 18 种
一个属性泛化假设： 2∗3+3∗3+2∗3=21 2 ∗ 3 + 3 ∗ 3 + 2 ∗ 3 = 21 种
两个属性泛化假设： 2+3+3=8 2 + 3 + 3 = 8 种
三属性泛化： 1 1 种
当k= 1 1 时，任选一种假设都可以作为一种没有沉余的假设，共 48 48 种。
k的最大值是 18 18 ，当k等于 18 18 时，就是 18 18 种具体属性假设的析取式，共 1 1 种。
当k取中间值时，就不好分析了。
一种可行的算法：
由于属性泛化后，一个泛化的假设可以对应多个具体假设。
把所有假设按三属性泛化，二属性泛化，一属性泛化，具体属性排序(这样可以保证排在后面的假设不会包含前面的任何一个假设，所以省略了一些包含判断)，进行循环枚举，按顺序遍历所有假设组合 248 2 48 种可能(当然绝大部分都提前结束了，不会是那么夸张的量级，虽然也不低)：

• 使用栈来实现非递归，如果当前假设还有没被析合式所包含的具体假设，则认为可以入栈，并当前栈大小的长度计数加 1 1 ，并继续扫描。
• 如果当前扫描已经到了最后一个假设，或者所有具体假设已经被全部包含，则退栈。
• 循环结束条件：当最后一个假设作为第一个压入栈的元素时，认为已经遍历结束。

由于一共有 18 18 种具体假设，可以用一个 32 32 位整型(变量为hypos_cur)的后 18 18 位来表示每一个具体假设。用1表示具体假设没被包含，用 0 0 表示具体假设已经被析合式包含。初始的析合式为空，可以设初试值为 0X3FFFF 0 X 3 F F F F 。每个假设也对应一个 32 32 位整型(假设变量为hypo_const),代表着它所对应了哪些具体假设，如果它包含了某种具体假设，则该位为 1 1 。

• 判断析合式是否包含了全部的具体假设：hypos_cur= 0 0 。
• 判断该假设是否已经被析合范式包含:用hypo_const与hypos_cur做与运算(结果用hypo_tmp表示)，如果为 0 0 表示已经被包含(判断该假设是否包含了当前的析合式:用hypo_const与hypos_cur做或运算，如果为 0X3FFFFF 0 X 3 F F F F F ，则认为该假设包含了当前析合式，但由于前面对所有假设做了排序，不可能出现这种情况，所以可以省略该判断)。
• 当某个假设加入析合范式后(入栈)用hypos_cur与hypo_tmp做异或运算，来更改析合式所包含的具体假设。
• 出栈时再次用hypos_cur与hypo_tmp做异或，回到加入该假设前的情况。
• 因为是指数级遍历的算法，所以很慢，我的3代i7笔记本大概算了3分钟。

#include 
#include 
using namespace std;

//按泛化程度排序，保证排在后面的假设不会不会包含前面的任何一个假设
static const char list[] = {
    0,0,0,
    0,0,1,0,0,2,0,0,3,0,1,0,0,2,0,0,3,0,1,0,0,2,0,0,
    0,1,1,0,1,2,0,1,3,0,2,1,0,2,2,0,2,3,0,3,1,0,3,2,0,3,3,
    1,0,1,1,0,2,1,0,3,2,0,1,2,0,2,2,0,3,
    1,1,0,1,2,0,1,3,0,2,1,0,2,2,0,2,3,0,
    1,1,1,1,1,2,1,1,3,1,2,1,1,2,2,1,2,3,1,3,1,1,3,2,1,3,3,
    2,1,1,2,1,2,2,1,3,2,2,1,2,2,2,2,2,3,2,3,1,2,3,2,2,3,3
};

//用来派生的抽象类
class hypos {
public:
    virtual int insert(int cur) = 0;
};

//单个的假设类
/* hypo_const 假设对应的具体假设集合 */
class hypo :public hypos {
public:
    hypo(int a, int b, int c) {
        hypo_const = 0;
        vector<char>  p[3];
        if (a == 0) {
            p[0].push_back(1);
            p[0].push_back(2);
        }
        else
            p[0].push_back(a);
        if (b == 0) {
            p[1].push_back(1);
            p[1].push_back(2);
            p[1].push_back(3);
        }
        else
            p[1].push_back(b);
        if (c == 0) {
            p[2].push_back(1);
            p[2].push_back(2);
            p[2].push_back(3);
        }
        else
            p[2].push_back(c);
        for (unsigned int i = 0;i < p[0].size();i++)
            for (unsigned int j = 0;j < p[1].size();j++)
                for (unsigned int k = 0;k < p[2].size();k++)
                    hypo_const |= (1 << (p[0][i] * 9 + p[1][j] * 3 + p[2][k] - 13));
    }

    //判断是否要加入到析合式 如果还有具体假设没被包含，则加入
    int insert(int cur) {
        return (hypo_const & cur);
    };

private:
    int hypo_const;
};

//用于压入栈的派生类 用来实现非递归
/* hypo_tmp 记录这个假设入栈时，带入了哪些具体假设，出栈时要还原 ptr 记录入栈时的位置 */
class hypo_ss :public hypos {
public:
    hypo_ss(int _ptr,int tmp){
        hypo_tmp = tmp;
        ptr = _ptr;
    }
    int insert(int cur) {
        return 0;
    };
    int hypo_tmp;
    int ptr;
};

//用来循环遍历的类
/* sum 各个长度的析合式各有多少种可能 ss 用来实现非递归的栈 hypos_cur 当前没被包含的具体假设 初始值为0X3FFFF hyposs 48个假设集合 */
class Traversal :public hypos {
public:
    Traversal() {
        hypos_cur = 0x3ffff;
        for(int i=0;i<48;i++)
            hyposs.push_back(hypo(list[3*i], list[3*i+1], list[3*i+2]));
    }

    //循环顺序遍历的主体
    //cur 初试的位置 设为0
    int insert(int cur) {
        //当前指向的位置
        int ptr = cur;
        while (1) {
            //退出条件 当最后一个假设作为第一个入栈的元素 表示遍历完成
            if (ptr > 47 && !ss.size()) break;
            //回退条件 扫描到最后或者所有具体假设都被包含 
            if (hypos_cur == 0 || ptr>47) {
                hypo_ss hypo_tmp = ss.top();
                hypos_cur ^= hypo_tmp.hypo_tmp;
                ptr = hypo_tmp.ptr + 1;
                ss.pop();
                continue;
            }

            //入栈条件 如果该假设还有未被包含的具体假设 则入栈，并当前栈大小的计数加1
            if (int tmp =hyposs[ptr].insert(hypos_cur)) {
                hypos_cur ^= tmp;
                ss.push(hypo_ss(ptr, tmp));
                if (sum.size() < ss.size())
                    sum.push_back(0);
                sum[ss.size() - 1]++;
            }
            ptr++;
        }
        return 1;
    };
    //输出各个长度的可能数
    void print() {
        for (unsigned int i = 0;i < sum.size();i++)
            printf("length %d : %d\n", i + 1, sum[i]);
    }
private:
    vector<int> sum;
    stack ss;
    int hypos_cur;
    vector hyposs;
};

int main()
{
    Traversal traversal;
    traversal.insert(0);
    traversal.print();
    system("pause");
    return 0;
}

/* 最终输出: length 1 : 48 length 2 : 931 length 3 : 10332 length 4 : 72358 length 5 : 342057 length 6 : 1141603 length 7 : 2773332 length 8 : 4971915 length 9 : 6543060 length 10 : 6175660 length 11 : 4003914 length 12 : 1676233 length 13 : 422676 length 14 : 61884 length 15 : 5346 length 16 : 435 length 17 : 27 length 18 : 1 */