MATLAB第十课：方程式求根
目标
- 符号方法
- 数字根求解
- 递归方程
问题描述：
假设有一个数学函数f(x0),想要找到一个x0，使得f(x0) = 0;
例如，函数
使用MATLAB求解这个方程的方法
- 解析法
- 图解法
- 数值解
一、符号方法
Symbolic Root Finding Approach（符号寻根方法）：
- 符号方法使用符号变量
- 执行数学方法在符号上，不在数字上
- 使用sym和syms创建符号变量
% 方法一：syms
>> syms x
>> x + x + x
ans =
3*x
% 方法2：sym
>> x = sym('x');
>> x + x + x
ans =
3*x
Symbolic Root Finding: solve()
>> syms x
>> y = x*sin(x)-x;
>> solve(y, x)
ans =
0
pi/2
Solving Multiple Equations
>> syms x y
>> eq1 = x - 2*y - 5;
>> eq2 = x + y - 6;
>> A = solve(eq1, eq2, x, y)
A =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
>> A.x
ans =
17/3
>> A.y
ans =
1/3
Solving Equations Expressed in Symbols
MATLAB总是以x为未知数。
>> syms x a b
>> solve('a*x^2-b')
ans =
b^(1/2)/a^(1/2)
-b^(1/2)/a^(1/2)
我们让b为未知数。
syms x a b
solve('a*x^2-b', 'b')
ans =
a*x^2
Symbolic Differentiation: diff()
>> syms x
>> y = 4*x^5;
>> yprime = diff(y)
yprime =
20*x^4
Symbolic Integration:
>> syms x;
>> y = x^2*exp(x);
>> z = int(y);
>> z = z - subs(z, x, 0)
z =
exp(x)*(x^2 - 2*x + 2) - 2
符号方法和数值方法的区别：
二、数字根求解
Using Function Handles
fsolve()：
>> f2 = @(x)(1.2*x+0.3+x*sin(x));
>> fsolve(f2, 0)
ans =
-0.3500
f2:A function handle
0:Initial guess
fzero():
注意：fzero只能解决函数穿过x轴的函数的解。不穿过x轴的函数，不能使用fzero函数求解。
>> f = @(x)x.^2;
>> fzero(f,0.1)
ans =
NaN
>> fsolve(f,0)
ans =
0
Finding Roots of Polynomials: roots()
>> roots([1 -3.5 2.75 2.125 -3.875 1.25])
ans =
2.0000 + 0.0000i
-1.0000 + 0.0000i
1.0000 + 0.5000i
1.0000 - 0.5000i
0.5000 + 0.0000i
Numeric Root Finding Methods
包围方法：从包含根的间隔开始
包围方法的思想：就是最小二乘法。
算法的流程：
开放方法：Newton-Raphson方法
算法流程：
比较：
Recursive Functions
递归函数：递归思想是很重要的思想，可以上网查一些资料弄清楚
Factorial Recursive Function：因子递归函数
- 该功能包括递归案例和基本案例
- 该功能到达基本情况时停止
function output = fact(n)
% fact recursively finds n!
if n==1
output = 1;
else
output = n * fact(n-1);
end
end