[JZOJ1900] 【2010集训队出题】矩阵

题目

题目大意

题目化简一下，就变成：
构造一个$01$数列$A$，使得$D=\sum A_i{A}_j{B}_{i,j}-\sum A_i{C}_i$最大。
问这个最大的$D$是多少。

正解

其实这是一个网络流的二元关系问题……
如果$A_i$为$1$，则会有$-C_i$的贡献。
如果$A_i$和$A_j$皆为$1$，则会有$B_{i,j}$的贡献。
然后很显然地，$70$分的方法就出来了：每个点朝汇点连一条容量为$C_i$的边，对于每个$B_{i,j}$，建一个新点，从源点朝它连一条容量为$B_{i,j}$的边，它朝$i$和$j$连容量为无限大的边。然后最小割即可。
这个算法的瓶颈在于这些新点太多了，能不能不用建立新点？
实际上有个很妙的方法：对于每一对$i$和$j$，从原点向$i$连一条容量为$B_{i,j}$的边，同样地向$j$连一条容量为$B_{j,i}$的边。$i$向$j$连一条容量为$B_{i,j}$的边，$j$向$i$连一条容量为$B_{j,i}$的边。
那么这有什么用呢？当$C_i$的那条边被保留的时候，源点向$i$连的那条$B_{i,j}$的边会被割掉，还有源点连向$j$或者$j$连向$i$的那条边也会被割掉。

另一种建图方式跟这个比较类似，只是把边权换成了$\frac{B_{i,j}+B_{j,i}}{2}$罢了。因为只要保留$C_i$或者$C_j$，割掉的边都是$B_{i,j}+B_{j,i}$。
对于源点向$i$和$j$连的边，显然可以合并起来。所以图中的点和边的数量就大大减少了。

代码

using namespace std;
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 610
inline int input(){
	char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch)
		ch=getchar();
	int x=0;
	do{
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	while ('0'<=ch && ch<='9');
	return x;
}	
int n;
int b[N][N],c[N];
struct EDGE{
	int to,c;
	EDGE *las;	
} e[2000000];
int ne;
EDGE *last[N];
inline void link(int u,int v,int c){
	e[ne]={v,c,last[u]};
	last[u]=e+ne++;
}
int S,T;
#define rev(ei) (e+(((ei)-e)^1))
int dis[N],gap[N],BZ;
EDGE *cur[N];
int dfs(int x,int s){
	if (x==T)
		return s;
	int have=0;
	for (EDGE *ei=cur[x];ei;ei=ei->las){
		cur[x]=ei;
		if (ei->c && dis[x]==dis[ei->to]+1){
			int t=dfs(ei->to,min(s-have,ei->c));
			ei->c-=t,rev(ei)->c+=t,have+=t;
			if (have==s)
				return s;
		}
	}
	cur[x]=last[x];
	if (!--gap[dis[x]])
		BZ=0;
	dis[x]++;
	gap[dis[x]]++;
	return have;
}
inline int flow(){
	gap[0]=n+2;
	int res=0;
	BZ=1;
	while (BZ)
		res+=dfs(S,INT_MAX);
	return res;
}
int main(){
	n=input();
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j)
			b[i][j]=input();
	for (int i=1;i<=n;++i)
		c[i]=input();
	S=n+1,T=n+2;
	int all=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int sum=0;
		for (int j=1;j<=n;++j)
			sum+=b[j][i];
		all+=sum;
		link(S,i,sum),link(i,S,0);
		for (int j=1;j<i;++j)
			link(i,j,b[j][i]),link(j,i,b[i][j]);
		link(i,T,c[i]),link(T,i,0);
	}
	printf("%d\n",all-flow());
	return 0;
}

总结

见到二元关系类型的题目，首先要想到网络流啊……