在TensorFlow中实现交叉熵

Softmax回归处理

神经网络的原始输出不是一个概率值，实质上只是输入的数值做了复杂的加权和与非线性处理之后的一个值而已，那么如何将这个输出变为概率分布？
这就是Softmax层的作用，假设神经网络的原始输出为y1,y2,….,yn，那么经过Softmax回归处理之后的输出为：

很显然的是：

而单个节点的输出变成的一个概率值，经过Softmax处理后结果作为神经网络最后的输出。

交叉熵的原理

交叉熵刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。假设概率分布p为期望输出，概率分布q为实际输出，H(p,q)为交叉熵，则：

这个公式如何表征距离呢，举个例子：
假设N=3，期望输出为p=(1,0,0)，实际输出q1=(0.5,0.2,0.3)，q2=(0.8,0.1,0.1)，那么：

很显然，q2与p更为接近，它的交叉熵也更小。
除此之外，交叉熵还有另一种表达形式，还是使用上面的假设条件：

其结果为：

以上的所有说明针对的都是单个样例的情况，而在实际的使用训练过程中，数据往往是组合成为一个batch来使用，所以对用的神经网络的输出应该是一个m*n的二维矩阵，其中m为batch的个数，n为分类数目，而对应的Label也是一个二维矩阵，还是拿上面的数据，组合成一个batch=2的矩阵：

所以交叉熵的结果应该是一个列向量（根据第一种方法）：

而对于一个batch，最后取平均为0.2。

在TensorFlow中实现交叉熵

在TensorFlow可以采用这种形式：

cross_entropy = -tf.reduce_mean(y_ * tf.log(tf.clip_by_value(y, 1e-10, 1.0))) 

其中y_表示期望的输出，y表示实际的输出（概率值），*为矩阵元素间相乘，而不是矩阵乘。
上述代码实现了第一种形式的交叉熵计算，需要说明的是，计算的过程其实和上面提到的公式有些区别，按照上面的步骤，平均交叉熵应该是先计算batch中每一个样本的交叉熵后取平均计算得到的，而利用tf.reduce_mean函数其实计算的是整个矩阵的平均值，这样做的结果会有差异，但是并不改变实际意义。
除了tf.reduce_mean函数，tf.clip_by_value函数是为了限制输出的大小，为了避免log0为负无穷的情况，将输出的值限定在(1e-10, 1.0)之间，其实1.0的限制是没有意义的，因为概率怎么会超过1呢。

由于在神经网络中，交叉熵常常与Sorfmax函数组合使用，所以TensorFlow对其进行了封装，即：

cross_entropy = tf.nn.sorfmax_cross_entropy_with_logits(y_ ,y) 

tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,labels=None,logits=None,name=None) 函数是将softmax和cross_entropy放在一起计算，对于分类问题而言，最后一般都是一个单层全连接神经网络，比如softmax分类器居多，对这个函数而言，tensorflow神经网络中是没有softmax层，而是在这个函数中进行softmax函数的计算。这里的logits通常是最后的全连接层的输出结果，labels是具体哪一类的标签，这个函数是直接使用标签数据的，而不是采用one-hot编码形式。