自适应辛普森积分算法

辛普森积分是数值积分的一种,是中点公式和梯形公式的改进。

——这是我在APIO2017时听某位大神讲课所了解的。

下面就讲讲辛普森积分到底是啥玩意儿。

假定我们要求如下定积分

baf(x)dx

略微懂一点微积分知识的都知道,对于一个黎曼可积的函数,我们要求其在某个闭区间上的定积分,要先求该函数的不定积分,即先求原函数。就是找到一个函数 F(x) ,使得 F(x)=f(x) ,然后根据牛顿—莱布尼茨公式去搞。即
baf(x)dx=F(b)F(a)

而有时候原函数并不好求,比如要求原的函数长得很复杂,要求的原函数非初等函数。。
这时我们需要“避其锋芒”,采用一种利用“近似”思想的方法。

我们都知道定积分就是曲线 f(x) 下方的面积(假设 f(x) 恒大于0),我们考虑一种近似求出曲线下方面积的方法——辛普森法。

我们先在区间 [a,b] 中等距地取奇数个点 a=x0,x1,x2,...,xn=b ,相邻两点间的距离为 Δx ,再设 yi=f(xi) ,然后套用公式

baf(x)dxΔx3(y0+4y1+y2)+Δx3(y2+4y3+y4)+...+Δx3(yn2+4yn1+yn)

点取得越多,近似程度就越高,但计算量也越大。当只取三个点的时候,有
baf(x)dxba6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]

这就是三点辛普森公式,又简称辛普森公式。

然而如果只取三个点误差肯定大,取太多的点计算量也会上去。那么到底取多少个点合适呢?

还好辛普森积分有一个重要的“变种”,称为自适应辛普森法(adaptive Simpson’s rule),我们设置一个精度Eps,让算法根据具体情况递归的划分区间,容易近似的地方少划几份,不容易近似的地方多划几份。这就是所谓的“自适应”。

具体的话,就是设区间 [a,b] 的中点为 c ,则当且仅当

|S(a,c)+S(c,b)S(a,b)|<15Eps
时(加 = 亦可)直接返回结果,否则递归调用,再次划分区间。递归调用时精度Eps也要相应地减小一半。
ps:
baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx (a<c<b)

这里的 S(a,b) 就是 [a,b] 的三点辛普森公式值,返回的结果是 S(c,b)+S(a,c)+Δs Δs=[S(a,c)+S(c,b)S(a,b)]/15| 。顺便提醒一句,如果直接返回 S(a,b) 的话,可能存在的误差超出可接受范围,就是比较可能会出错。。还有,这个 15 是怎么来的别问我。。。

以上就是我对自适应辛普森积分的初步理解,或者可以说是最初理解。本人对关于微积分的知识比较有兴趣,今天初学了辛普森积分又有了新的收获,然而这样的日子恐怕已不多。

Code

double f(double x){
    return x * x + x;//写要求辛普森积分的函数
}

double simpson(double L, double R){//三点辛普森积分法,要求f(x)是全局函数
    double mid = (L + R) / 2.0;
    return (f(L) + 4.0 * f(mid) + f(R)) * (R - L) / 6.0;
}

double integral(double L, double R, double Eps){//自适应辛普森积分递归过程
    double mid = (L + R) / 2.0;
    double ST = simpson(L, R), SL = simpson(L, mid), SR = simpson(mid, R);
    if(fabs(SL + SR - ST) <= 15.0 * Eps)  return SL + SR + (SL + SR - ST) / 15.0;//直接返回结果
    return integral(L, mid, Eps/2.0) + integral(mid, R, Eps/2.0);//对半划分区间
}

自适应辛普森积分算法_第1张图片

我依然只站在你那一边
我明白那份孤独伤痛

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