泊松分布与现实生活

现实生活中很多事件都服从泊松分布，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、一个小时内到达银行办理业务的客户数，某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

那么什么是泊松分布呢？泊松分布需要满足什么条件呢？下面我就给大家娓娓道来。

说到泊松分布，就不得不提及二项分布，二项分布最典型的例子相信大家都听说过，那就是抛硬币的例子。在n次抛硬币的过程中，每次只可能出现两种结果——正面或者反面，同时每次抛出正面或者反面的概率是不变的（这里是0.5），并且n次抛硬币的过程中抛出正面或者反面是独立的，互不影响。即满足以下三个条件：
（1）每次试验中事件只有两种结果：事件发生或者不发生，如硬币正面或反面。
（2）每次试验中事件发生的概率是相同的，注意不一定是0.5；
（3）n次试验的事件相互之间独立。

此时，假设事件发生的概率为p,那么n次试验中事件发生k次的概率则可以用下面的公式表示：

在这n次试验中，事件发生的数学期望为：

接下来我们由二项分布推广到泊松分布。

我们可以这样考虑，在一个特定时间内，某个事件（比如抛硬币抛到一次正面）会在任意时刻随机发生（前提是，每次发生都是独立的，且跟时间无关）。当我们把这个时间段分成非常小的时间片时，可以认为，每个时间片内，该事件（抛硬币抛到正面）可能发生，也可能不发生。几乎可以不考虑发生多于一次的情况（因为时间片可被分的足够小）。

当时间片分的越小，该时间片内发生这个事件（抛硬币抛到正面）的概率 p 就会成正比的减少。即：特定时间段被分成的时间片数量 n 与每个时间片内事件发生的概率 p 的乘积 n*p 为一个常数，假设为lamda。这个常数表示了该事件在指定时间段发生的频度（即数学期望）。即

更进一步，n趋于无穷大时，p趋于0，此时事件发生的概率是服从泊松分布的。因为这个时候其实每个时间片内事件（抛硬币抛到正面）发生的概率是服从二项分布的，所以推导如下：

由此，总结得出一个事件在一段时间内随即发生，其服从泊松分布的条件为：
（1）将该时间段无限分隔成很多个小的时间段，在这个小的时间段内，事件发生的概率非常小，不发生的概率非常大。
（2）在每个小的时间段内，事件发生的概率是稳定的，且与小的时间段的长度成正比。
（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。

现在我们来分析一下一小时内到达公交车站的乘客人数，我们可以这样考虑，把一小时分割成3600s，那么在这1s内，到达公交站的乘客人数（事件发生的概率）可以认为非常小，甚至是不足一人；同时，每1s内到达的人数是稳定的，且到达的人数与时间长度成正比；最后，每1s内是否有乘客到达公交站之间是独立的（不考虑大家约着一起来的话）。所以一段时间到达公交站的乘客人数服从泊松分布。