bzoj4403 序列统计 ( 组合数学 + lucas )

bzoj4403 序列统计

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403

题意：
多组数据。
给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

数据范围
1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100

题解：
首先，考虑对于一个长度为n的序列，如何求元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。

这里提供一个常用转化：
此类单调不降问题常常把第i个数加上i，变成求升序序列的问题。
升序序列，即任选出n个不重复的数，答案是comb（值域，n）

因为已经第i个数加上i，值域从[L，R] 变为 [L+1，R+n]
因此，一个长度为n的序列，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量就是：
comb（R-L+n，n）

原题转化为：
Σni=1CiR−L+i
=CnR−L+n+Cn−1R−L+n−1+...C2R−L+2+C1R−L+1
=CnR−L+n+Cn−1R−L+n−1+...C2R−L+2+C1R−L+1+1−1
=CnR−L+n+Cn−1R−L+n−1+...C2R−L+2+C1R−L+1+C0R−L+1−1
因为 Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1
原式 =CnR−L+n+Cn−1R−L+n−1+...C2R−L+2+C1R−L+2−1
=CnR−L+n+Cn−1R−L+n−1+...C2R−L+3+−1
依次合并，最后得到
CnR−L+n+1−1
直接算即可

(化简式子的问题，添减一项来凑是常用的做法)

代码：

#include
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1000003;
const int N=1000010;
int T,n,L,R,fac[N],inv[N];
int C(int n,int m)
{
    if(n0||m<0) return 0;
    if(m==0) return 1;
    return ((1LL*(1LL*fac[n]*inv[fac[m]])%mod)*(inv[fac[n-m]]%mod))%mod;
}
int lucas(int n,int m,int p)
{
    if(nreturn 0;
    if(m==0) return 1;
    return (1LL*(lucas(n/p,m/p,p)%mod)*(C(n%p,m%p)%mod))%mod;
}
void init()
{
    fac[0]=1; inv[1]=1; inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=mod;i++)
    {
        fac[i]=(1LL*fac[i-1]*i)%mod;
        if(i==1) continue;
        inv[i]=(1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i])%mod;    
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&L,&R);
        printf("%d\n",(lucas(R-L+n+1,n,mod)-1+mod)%mod);
    }

    return 0;
}