Mesh模型的Laplace Deformation（网格形变 - 拉普拉斯形变） - C++代码实现

github: https://github.com/GaoYuanBob/LaplaceDeformation     

https://blog.csdn.net/Bob__yuan/article/details/81778875，这里是我的第一篇Laplace形变的学习记录，在这第二篇学习记录中，想将做出的几个结果放上来看一下（红色是固定区域，绿色是移动区域，由于上一篇文章说了，Laplace Deformation是可以三个轴分着计算的，所以只是将绿色区域在Y方向上进行拖动，所有点的坐标也只更新Y坐标）：

    我目前是先实现的最简单的Laplace Deformation，就是点的Laplace坐标就是单纯的用周围一圈点的坐标平均（同样的权重）然后和该点坐标做减法。从结果上看还是比较对的，为了检查在内存有洞的情况下是否会影响，加的大图的测试（红色为移动锚点，进行旋转，蓝色未固定锚点，固定不动）。

    具体到代码实现流程如下：

    1、先选取锚点

          对一个要进行形变的模型，我们先选择出锚点，包括在形变过程中不动的锚点，我称之为固定锚点，记录这些点的索引到fixed_anchor_idx（vector）中；然后选取我们确定形变之后在哪里的点，我称之为移动锚点，记录这些点的索引到move_anchor_idx（vector）中。

    2、计算点的连接关系

          这个功能在VCG库里其实是有的，导入模型之后自动就有这种属性，但是为了实现流程，还是自己写了一下，大致思想就是遍历所有的面（必须是三角形），由于是三角形面片，所以三角形上的三个点肯定是相连接的，对于所有面片，将每个点的连接点vector中，添加上这个三角形面片的另外两个点，遍历完成，所有点的连接关系就确定完成了。

    3、计算Laplace矩阵 - L

         处理的模型有 N 个点，Laplace矩阵L就是 N * N 的方阵（稀疏矩阵，大多数位置值为0），对角线上代表，第i个点有几个邻接点，也就是用到了我们上边计算出来的连接关系。然后 i，j 位置是 -1 则表示第 j 个点和第 i 个点连接，如果是0，则没有相连接。如果觉得自己的矩阵可能有问题，可以输出出来，看看每一行的 -1 的个数加起来和这一行对角线上的值是不是一样的，不一样一定是问题的！

          具体到代码部分，我用到的是VCG中的Eigen库，头文件方面需要如下几个。

          首先是创建Laplace矩阵L以及之后需要扩充的矩阵Ls，L的大小是N * N，Ls的大小是 (M + N) * N（M是锚点总个数）。然后根据上述方式进行赋初值。这个过程过后，Laplace矩阵L就计算完成了！L用来和形变前模型的所有点坐标组成的矩阵相乘，得到等式右边的Laplace坐标，（忘了是啥可以看一下第一篇文章）。Ls还没有计算完成，还需要添加锚点信息。

           比如说对于只有19的圆盘来说，Laplace矩阵L就如下图所示。

          接下来添加固定锚点和移动锚点信息，添加方式相同，就是每一个锚点添加一行，这一行中除了这个点的索引处为1，其余位置全为0；同样是上边的模型，Ls矩阵就是多了两行的L，如下所示。（可以看出，只有两个锚点，分别是第0号，和第16号点）。

 

         输出矩阵信息的时候，Eigen库重载了cout，所以直接 cout << L << endl; 即可输出整个矩阵，并且是对齐的。但是矩阵很小时输出能够看出一些信息，矩阵大了肉眼就看不出什么信息了。

    4、计算等式左边 - LsTLs

         上图公式左边，和x相乘的就是Ls矩阵，计算了Ls之后，就是计算等式  左边了。也就是求出Ls矩阵的转置，然后左乘上Ls本身，我称之为 LsTLs 矩阵。所有的矩阵库都肯定有矩阵求转置的方法，Eigen库中直接 LsT = Ls.transpose();  LsTLs = LsT * Ls; 就可以求出我们需要的 LsTLs 矩阵了。

    5、计算等式右边 - LsTb

         等式右边的矩阵称为 b，上边的部分就是用我们之前算过的Laplace矩阵左乘上所有点的坐标的矩阵，得到的所有点的Laplace坐标矩阵，因为xyz三个轴可以分别计算，所以每个轴其实是一个很长的向量。b 矩阵下边部分是Laplace Deformation的重点！它包括两个部分，固定锚点和移动锚点，b里的每一行，对应着Ls中的每一行。这些表示锚点信息的行，是决定形变方式以及效果的数据。一行和一行之间的对应一定要对！

          每一行的赋值，对于固定锚点和移动锚点，赋值的原理是一样的，每一行除了点的索引位置上有数，其余位置都是0，索引位置上的数，是这锚点的形变后坐标！！

          但是，对于固定锚点，因为固定，所有其实形变后坐标也是形变前坐标，固定锚点的每一行就是在上述数学公式中的含义就是，这个点，在形变过程中，坐标没有变。 

          对于移动锚点，因为移动了，所有不再是形变前坐标，这时就需要用到我们指定的这些点形变后的坐标，要自己指定。

         从代码也可以看出，就是先用Laplace矩阵L计算所有点的Laplace坐标，也就是 b 矩阵的上半部分，然后通过Eigen库中的 conservativeResize 方法将 b 矩阵扩展为 N + M 行，然后用上述方法指定锚点信息，我这里只对Y坐标进行改动，对所有移动锚点，将其Y坐标减去5，看看形变效果。（从这里就可以明显的看出，如果所有点只是在Y轴方向上移动，那么模型上所有点的X和Z坐标形变前后是都不会变的！）。

    6、计算形变后的坐标 

         得到形变后的坐标 x' 的方式就是解 LsTLs * x' = LsTb 这个线性方程组，方程组左右我们都知道了，并且用矩阵的形式表示，我们使用Eigen库中提供的Cholesky分解加速计算。vy_new = LsTLs.llt().solve(LsTby);  一行即可计算出 vy_new 这个 Eigen::VectorXf 类型向量，向量的大小是自动计算出来的，不需要指定。

     7、对模型进行形变

           得到的 vy_new 向量包括了所有点的 y 坐标（x和z同样方式计算），但不是所有点的 y 坐标都需要进行更新，因为我们有锚点，所以更新模型的方式就是，遍历vy_new向量：

         （1）如果这个索引上的点不是锚点，那么这个点的新坐标就变为 vy_new 对应位置的值

         （2）如果这个索引上的点是固定锚点，那么这个点的坐标不用调整

         （3）如果这个索引上的点是移动锚点，那么这个点的坐标调整为指定的形变后坐标

          也就是说，只有不是锚点的点的坐标是需要计算的，锚点的形变后坐标的我们在形变前就已经知道了，如下图所示赋值。

    这样，模型的所有点的坐标也已经更新了，完整的Laplace形变就完成了。 

    如果有更多要求限制，比如旋转不变性，保体积性，等等，也是在这个流程的基础上添加约束信息，中心思想是一样的。