傅里叶级数和傅里叶变换(从线性代数角度)
主要参考Stanford的公开课。
cos(x),sin(x), e i x e^{ix} eix 的转换
周期是 2 π 2 \pi 2π 的情况
f ( x ) = a 0 + ∑ 1 ∞ a k c o s ( k x ) + ∑ 1 ∞ b k s i n ( k x ) f(x)=a_0+\sum\limits_{1}^{\infty} {a_k}cos(kx)+\sum\limits_{1}^{\infty}{b_k}sin(kx) f(x)=a0+1∑∞akcos(kx)+1∑∞bksin(kx)
f ( x ) = ∑ 0 ∞ c k e i k x f(x)=\sum\limits_{0}^{\infty}{c_k}e^{ikx} f(x)=0∑∞ckeikx
c k = a k 2 − i b k 2 ( k > 0 ) c_k=\dfrac{a_k}{2}-i\dfrac{b_k}{2} (k>0) ck=2ak−i2bk(k>0)
由于 c − k = c k ‾ c_{-k}=\overline{c_k} c−k=ck，所以第二个式子中虚部最后是被消掉的。
假设
c k = a 2 − i b 2 c_k=\frac{a}{2}-i\frac{b}{2} ck=2a−i2b
c k e i k x + c − k e − i k x \space\space\space c_ke^{ikx}+c_{-k}e^{-ikx} ckeikx+c−ke−ikx
= ( a − i b ) [ cos ( k x ) + i sin ( k x ) ] + ( a + i b ) [ cos ( k x ) − i sin ( k x ) ] 2 =\dfrac{(a-ib)[\cos(kx)+i\sin(kx)]+(a+ib)[\cos(kx)-i\sin(kx)]}{2} =2(a−ib)[cos(kx)+isin(kx)]+(a+ib)[cos(kx)−isin(kx)]
= a cos k x + b sin k x =a\cos{kx}+b\sin{kx} =acoskx+bsinkx
把函数和向量类比
首先是复变函数内积的定义，
∫ f ( x ) g ( x ) ‾ d x \int f(x)\overline{g(x)}dx ∫f(x)g(x)dx
有了内积之后，就可以定义正交了，
∫ f ( x ) g ( x ) ‾ d x = 0 \int f(x)\overline{g(x)}dx=0 ∫f(x)g(x)dx=0
然后，
c o s ( x ) , c o s ( 2 x ) , c o s ( 3 x ) . . . s i n ( x ) , s i n ( 2 x ) , s i n ( 3 x ) . . . cos(x), cos(2x), cos(3x)... \\ sin(x), sin(2x),sin(3x)... cos(x),cos(2x),cos(3x)...sin(x),sin(2x),sin(3x)...
是一组正交向量，但是本科的时候就只理解到这里，其实还可以再向后想一点点的，
. . . , e − 2 i x , e − i x , e 0 i x , e i x , e 2 i x , e 3 i x , . . . ...,e^{-2ix},e^{-ix},e^{0ix},e^{ix},e^{2ix},e^{3ix},... ...,e−2ix,e−ix,e0ix,eix,e2ix,e3ix,...
也是一组正交的向量，但是后者更好，因为后面每个向量的长度是相同的，也就是，
∫ 0 2 π cos x cos x d x = π \int_{0}^{2\pi}\cos{x}\cos{x}dx=\pi ∫02πcosxcosxdx=π
∫ 0 2 π 1 d x = 2 π \int_{0}^{2\pi}1dx=2\pi ∫02π1dx=2π
∫ 0 2 π e i x e − i x d x = 2 π \int_{0}^{2\pi}e^{ix}e^{-ix}dx=2\pi ∫02πeixe−ixdx=2π
还有一个小细节，这两组基的个数是相等的，都是整数的个数。
把一个函数转成一组正交函数的线性组合，相当于把这个函数向这些正交基投影,
c k 2 π = ∫ 0 2 π f ( x ) e i k x ‾ 2 π d x c_k\sqrt{2\pi}=\int_{0}^{2\pi} f(x){\frac{\overline{e^{ikx}}}{\sqrt{2\pi}}}dx ck2π=∫02πf(x)2πeikxdx
或者，
c k = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( x ) e − i k x d x c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x){e^{-ikx}}dx ck=2π1∫02πf(x)e−ikxdx
周期为 T T T 时，
c k = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − i k 2 π T x d x c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(x){e^{-ik\frac{2\pi}{T}x}}dx ck=T1∫0Tf(x)e−ikT2πxdx
然后是收敛条件，
lim k → ∞ ∫ 0 2 π ( f ( x ) − ∑ 0 k c k e i k x ) 2 d x = 0 \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{2\pi}(f(x)-\sum\limits_{0}^{k}c_{k}e^{ikx})^2dx=0 k→∞lim∫02π(f(x)−0∑kckeikx)2dx=0
积分和差的平方和在一起是不是有最小二乘法的感觉，用向量的东西做类比就是f(x)是可以完全被这组有无穷个的正交的基表示。
然后是energy，
∑ 0 ∞ ∣ c k ∣ 2 \sum\limits_{0}^{\infty}|c_k|^2 0∑∞∣ck∣2
或者，
∑ 0 ∞ c k c k ‾ \sum\limits_{0}^{\infty}c_k\overline{c_k} 0∑∞ckck
也就是在取定基下，向量的长度。
傅里叶变换
从傅里叶级数到傅里叶变换，视频中老师用的办法是使 T → ∞ T\rightarrow\infty T→∞。
具体是随便一个定义域是闭区间的函数，把这个函数的定义域扩大，扩大的地方函数值为0。由于周期越来越大，想要的傅里叶级数展开的每一项系数会越来越小，最终变为0。为了时傅里叶级数不为零，所以把求傅里叶级数的系数时前面要乘的 1 T \frac{1}{T} T1 去掉，于是变为,
c k = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − i k x d x c_k=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x){e^{-ikx}}dx ck=∫−∞+∞f(x)e−ikxdx
其实，这里我还是没有想明白。
不过也许可以从另一个角度想，
f ( x ) f(x) f(x) 可以看成是一组自然基底 δ ( x − x 0 ) , x 0 ∈ R \delta(x-x_0),x_0\in R δ(x−x0),x0∈R 的线性组合，由于基是连续的，所以求和只好变为积分,
f ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x 0 ) δ ( x − x 0 ) d x 0 f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x_0)\delta(x-x_0)dx_0 f(x)=∫−∞+∞f(x0)δ(x−x0)dx0
同时， f ( x ) f(x) f(x) 还可以看成是另一组基底 e i 2 π s x , s ∈ R e^{i2{\pi} sx},s\in R ei2πsx,s∈R 的线性组合，
f ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ c s e i 2 π s x d s f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}c_s e^{i2{\pi} sx}ds f(x)=∫−∞+∞csei2πsxds
为了比较，把前面式子中的 x 0 x_0 x0 换成s，
f ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( s ) δ ( x − s ) d s f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(s)\delta(x-s)ds f(x)=∫−∞+∞f(s)δ(x−s)ds
这样就可以很清楚的看到：
- f ( s ) f(s) f(s)和 c s c_s cs相对应，都是函数给定后，就确定的常数，只是前者是一眼就能看出的，后者需要傅里叶变换才能求出
- δ ( x − s ) \delta(x-s) δ(x−s) 和 e i 2 π s x e^{i2{\pi} sx} ei2πsx 相对应 他们都是s 和 x 的函数，在x自由变化时，刚好组成两组正交的基底，并且两组基的个数是相同的，都是x可以取的值的个数，也就是实数的个数。
这里有个重要的等式，
∫ − ∞ + ∞ e i a s d s = δ ( a ) \int_{-\infty}^{+\infty}e^{ias}ds=\delta(a) ∫−∞+∞eiasds=δ(a)
或者，
∫ − ∞ + ∞ e i s x 1 e i s x 2 ‾ d s = ∫ − ∞ + ∞ e i s x 1 e − i s x 2 d s = ∫ − ∞ + ∞ e i s ( x 1 − x 2 ) d s = δ ( x 1 − x 2 ) \int_{-\infty}^{+\infty}e^{isx_1}\overline{e^{isx_2}}ds= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{isx_1}{e^{-isx_2}}ds=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{is(x_1-x_2)}ds=\delta(x1-x2) ∫−∞+∞eisx1eisx2ds=∫−∞+∞eisx1e−isx2ds=∫−∞+∞eis(x1−x2)ds=δ(x1−x2)
把逆变换公式代入变换
为了方便我们假设变换公式
F ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt F(w)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdt
逆变换公式 （其实，对比傅里叶级数，逆变换公式是更容易的理解的）
f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e j w t d w f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{jwt}dw f(t)=∫−∞+∞F(w)ejwtdw
逆变换代入变换
F ( w 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e j w t d w ] e − j w 0 t d t F(w_0)=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{jwt}dw \right] e^{-jw_0t}dt F(w0)=∫−∞+∞[∫−∞+∞F(w)ejwtdw]e−jw0tdt
F ( w 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e j ( w − w 0 ) t d w ] d t F(w_0)=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{j(w-w_0)t}dw \right] dt F(w0)=∫−∞+∞[∫−∞+∞F(w)ej(w−w0)tdw]dt
交换内外积分,
= ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e j ( w − w 0 ) t d t ] d w =\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{j(w-w_0)t}dt \right] dw =∫−∞+∞[∫−∞+∞F(w)ej(w−w0)tdt]dw
= ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) [ ∫ − ∞ + ∞ e j ( w − w 0 ) t d t ] d w =\int_{-\infty}^{+\infty}F(w) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{j(w-w_0)t}dt \right] dw =∫−∞+∞F(w)[∫−∞+∞ej(w−w0)tdt]dw
= ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) δ ( w − w 0 ) d w =\int_{-\infty}^{+\infty}F(w) \delta(w-w_0) dw =∫−∞+∞F(w)δ(w−w0)dw
= F ( w 0 ) =F(w_0) =F(w0)