傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶

基本概念 

 傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第1张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第2张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第3张图片

欧拉公式

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第4张图片

根据欧拉公式正余弦信号还可以被指数形式所表示 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第5张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第6张图片

 角频率或频率为横轴,振幅和相位为纵轴,画一个坐标系,表示这个正弦信号

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第7张图片

在新的坐标系(角频率或频率为横轴,,振幅和相位为纵轴)中,以两条线(甚至两个点就够了),表示了时域波形如图2.1所示的信号,或者说,表示了信号所有的特征信息(频率、幅度和相位)。这种表示法被称为频域表示,表示的结果叫做“频谱”,对应于振幅或者相位分别为幅度谱和相位谱。    

上述正弦信号只有单一频率,因此其频谱只包含一根“线”(谱线),人们常称其为“单色”信号。

 

傅里叶级数 

公式推导,百度或者数学课本。

任何周期信号都能够由不同谐波的正弦波叠加而成,这由傅里叶发现,因此称之为傅里叶级数

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第8张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第9张图片

可以通过积化和差,把sin和cos化为一个cos 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第10张图片

如果我把一个信号的所有正弦分量的频率算出来画出来,那么就如下图 ,也叫频谱图

频谱是频率谱密度的简称,是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡,这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第11张图片

考察某个信号的所有正弦分量,这些正弦分量覆盖的频率范围,被形象地叫做“频带”。这个范围的大小,就是“带宽”——即频带宽度,如图所示。带宽是衡量信号特性的一个重要指标。  

极端情况下,相邻谱线足够接近时,频谱就可表示成连续的曲线了,原来分立的谱线于是简化为曲线中的一个个点 。

 

 根据欧拉公式也可以用指数来表示一个周期信号

欧拉公式

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第12张图片

因此傅里叶级数还可以表示成以下指数形式

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第13张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第14张图片

 如果我把一个信号的所有指数分量的频率算出来画出来,那么就如下图

 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第15张图片

 

可以看到,复频谱除正频率分量外,还包括负频率分量。负频率的出现是数学运算(欧拉公式)的结果,并无物理意义。

 

 总结:

上述正弦信号只有单一频率,因此其频谱只包含一根“线”(谱线),人们常称其为“单色”信号。而在大多数应用场合中,信号是由若干不同频率的单色信号叠加而成的,称为“复合”信号。从频域角度看,复合信号的频谱包含若干条甚至无数条谱线。

 

以周期矩形信号为例,从傅里叶级数到傅里叶变换

 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第16张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第17张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第18张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第19张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第20张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第21张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第22张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第23张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第24张图片

 突然发现好多数学式子啊,知道它是很多正弦信号组成的,那我们来大概看看,小的正弦信号怎么组成了这个周期矩形信号

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第25张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第26张图片

 

 

 傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第27张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第28张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第29张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第30张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第31张图片

看到了吧,如果我再加更多的频率更高的正弦信号那么越像周期矩形信号。

 

 

有没有发现前面的正弦信号,矩形脉冲信号,都是周期信号。那么非周期信号怎么办呢?

傅里叶认为,既然周期信号可以用正弦信号来表示,那么非周期信号也可以用正弦信号来逼近。原因是非周期信号可以看成是周期无限大

的周期信号;事实证明,傅里叶的想法是对的,于是才有了大名鼎鼎的傅里叶变换。

再回顾一下傅里叶级数的三角函数形式

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第32张图片

 

由于谱间隔为

另外谱的幅度

所以当周期无限增大时,谱线间隔会变密,而谱的幅度会减小。

极端情况下,若周期函数转换为非周期函数,这时离散频谱将成为连续频谱,分量幅值趋于无穷小。

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第33张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第34张图片

 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第35张图片

 

 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第36张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第37张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第38张图片

由于

增大时,带宽减小

减小时,带宽增大

这反映了一个普遍的规律:时域上压缩,减小,频域上展宽,增大

考虑一个极端情况,若 ,即矩形脉冲变成冲击函数

,频谱的高阶谐波分量不衰减,成为所谓的白色谱

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第39张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第40张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第41张图片

 傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第42张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第43张图片

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第44张图片

 

傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶_第45张图片

 

 

 

你可能感兴趣的:(傅里叶变换,通信)