理解熵(信息熵,交叉熵,相对熵)

Highlights:

1）信息熵：编码方案完美时，最短平均编码长度的是多少。
2）交叉熵：编码方案不一定完美时（由于对概率分布的估计不一定正确），平均编码长度的是多少。
平均编码长度 = 最短平均编码长度 + 一个增量
3）相对熵：编码方案不一定完美时，平均编码长度相对于最小值的增加值。（即上面那个增量）

信息熵

1、熵的本质是香农信息量 log(1/p) 的期望；（参考了第一个答案）

H(p)=E[log(1/p)]=∑pi∗log(1/pi)，

是一个期望的计算，也是记录随机事件结果的平均编码长度；
为什么信息量 是 log(1/p) 呢？
因为：一个事件结果的出现概率越低，对其编码的bit长度就越长。 以期在整个随机事件的无数次重复试验中，用最少的 bit 去记录整个实验历史。即无法压缩的表达，代表了真正的信息量。
2、熵的本质的另一种解释：最短平均编码长度；
本质含义：编码方案完美时，最短平均编码长度的是多少
3、交叉熵，则可以这样理解：使用了“估算”的编码后，得到的平均编码长度（可能不是最短的）p是真实概率分布，q是你以为的概率分布（可能不一致）；你以 q 去编码，编码方案 log(1/q_i)可能不是最优的；于是，平均编码长度 = ∑ p_i *log(1/q_i)，就是交叉熵；只有在估算的分布 q 完全正确时，平均编码长度才是最短的，交叉熵 = 熵

交叉熵

1.定义
本质含义：编码不一定完美时，平均编码长度是多少
连续函数：

H(p,q)=Ep[−logq]=H(p)+DKL(p||q)

其中H(p)是p的信息熵，后者是相对熵
离散函数:

H(p,q)=−∑xp(x)logq(x)=entropy(p)+DKL(p||q)

2、在 ML 中等效于相对熵
作用：用来评估，当前训练得到的概率分布，与真实分布有多么大的差异 因为与相对熵只差一个 分布 P 的信息熵，若 P 是固定的分布，与训练无关；Q 是估计的分布，应尽量等于 P。 二者一致时，交叉熵就等于 P 的熵。

相对熵

本质含义：由于编码方案不一定完美，导致的平均编码长度的增大值
离线：

DKL(p||q)=∑ip(i)logp(i)q(i)=−entropy(p)+交叉熵H(p,q)

连续：

DKL(p||q)=∫∞−∞p(x)logp(x)q(x)dx

1）用来衡量2个取值为正数的函数的相似性
2）2个完全相同的函数，相对熵为0；差异越大，相对熵越大；
3）概率分布函数，或 概率密度函数，若函数值均大于0，相对熵可以度量两个随机分布的差异性；
4）相对熵不对称，没有交换律