【算法设计与分析】图
参考来源：http://www.cse.iitd.ac.in/~rjaiswal/2012/csl356/
严蔚敏,李冬梅,吴伟民：数据结构
1.介绍
图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。
1.1 图的定义
图G由两个集合V和E组成，记为
，其中V是顶点的有穷集合，E是顶点偶对（边）的有穷集合。
通常代表图G的顶点集合和边集合。若
为有向边的集合，则该图为有向图；若为无向边的集合，则该图为无向图。
1.2 图的基本术语
子图、无向完全图和有向完全图、稠密图与稀疏图、邻接点、度和入度和出度、路径和路径长度、回路或环、连通和连通图和联通分量、强连通图等等。
连通：无向图G中，顶点a到顶点b有路径，则称它们是连通的。
连通图：V中任意两个顶点都是连通的，则G为连通图。
连通分量：无向图中的极大连通子图。
强连通图：有向图G中，V中任意两个顶点都是连通的，则G为强连通图。
1.3 图的实例
六度空间理论、交通运输网络等
2 图的数据结构
2.1 邻接矩阵表示
时间复杂度也是
.
优点：便于判断i j两点间是否有边，根据A[i][j]=0或1判断；便于计算各顶点的度。
缺点：不便于增加或删除顶点；不利于计算边的数目；空间复杂度高。
2.2 邻接表表示
邻接表是图的一种链式存储结构。邻接表：表头结点表+边表。
表头结点表：以顺序结构存储，便于随机访问任一顶点的边链表。表头结点：数据域+链域。数据域用于存储顶点名称和其他信息，链域用于指向链表中第一个结点。
边表：邻接点域+数据域+链域。
时间复杂度为
，空间复杂度为。
优点：便于增加和删除顶点；便于统计边的数目；空间效率高。
缺点：不便于判断两点间是否有边；不便于计算有向图各顶点的度。
2.3 其他表示
十字链表、邻接多重表。
3 图的遍历
图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和关键路径等算法的基础。根据路径的搜索路径的方向，通常有：深度优先搜索和广度优先搜索两种遍历图的途径。对无向图、有向图都适用。
3.1 深度优先搜索（DFS）
DFS遍历类似于树的先序遍历。采用不同数据结构的DFS具体实现：
邻接矩阵表示时查找每个顶点的邻接点的时间复杂度是，n是顶点数；
邻接表表示时查找邻接点的时间复杂度是
，e是边数，所以此时用DFS遍历图的时间复杂度为。
DFS
3.2 广度优先搜索（BFS）
BFS遍历类似于树的按层次遍历。
利用辅助队列进行遍历，每个顶点至多进一次队列（同一层的存在同一队列中）。
应用：
判断是否有环：利用BFS，如果访问到之前访问过的点，则存在环。
是否为二部图：利用BFS进行上色，如果本层与下层存在同色，则不可二划分。
4 图的应用
图的几种常见算法。
4.1 最小生成树
对于n个顶点的连通网可以生成不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。最合理的通信网应该是代价之和最小的生成树。
构造最小生成树有多种算法，其中多数算法利用了最小生成树的MST性质：
假设
是一个连通网，
是顶点集
中的一个非空子集。若
是一条具有最小权值的边，其中
，则必存在一棵包含边的最小生成树。
反证法证明。若N中最小生成树T不包括，则T中必存在另一条边
，其中
，且
，
间有路径。将加入T，则
构成回路，因为权值不大于，所以将删去，得到新的最小生成树，与T为最小生成树的假设矛盾。
Prim算法
时间复杂度为，与图的边数无关，适用于稠密网。
Kruskal算法
采用合适的数据结构，for循环中合并两个不同分量的执行时间可以证明为
，因此整个for循环的时间为
，使用与稀疏网。
4.2 最短路径
图结构表示实际的交通网络。一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条中转次数最少的路线，只需从顶点A做广度优先搜索，一旦遇到B就停止。
某个源点到其余各顶点的最短路径--Dijkstra算法
主循环执行n-1次，每次时间为
，所以时间复杂度是。以邻接表为数据结构时，在D中选最小分量的时间不变，时间复杂度仍为。
每对顶点间的最短路径--Floyd算法
- 以图中每一顶点为源点调用n次Dijkstra算法
- Floyd算法
两者的时间复杂度皆为
。
4.3 拓扑排序
1.AOV-网
一个无环的有向图称作有向无环图(Directed Acycline Graph)，简称DAG图。
DAG与区块链？
用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex Network)，简称AOV-网。在AOV-网中，不应该出现有向环，因为存在环意味这某个活动本身以自己为先决条件。
拓扑排序就是将AOV-网中所有的顶点排成一个线性序列，该序列满足：若在AOV-网有顶点
到顶点
间有一条路径，则在该线性序列中的顶点在顶点之前。
例如：
2.判断一个图是否存在环
拓扑排序的过程：
算法实现：
利用栈先进后出的性质，将入度为0的顶点依次入栈。栈的性质可以使得输出顶点数少于原有顶点数得以实现。
对于有n个顶点，e条边的有向图而言，求各顶点入度的时间复杂度为，建立0入度顶点栈的时间复杂度为，所以总的时间复杂度为。