趣学算法系列-动态规划

趣学算法系列-动态规划

声明：本系列为趣学算法一书学习总结内容，在此推荐大家看这本算法书籍作为算法入门，
原作者博客链接,本书暂无免费电子版资源，请大家支持正版，更多实例分析请查看原书内容

第四章 动态规划

动态规划解决复杂问题的思路也是对问题进行分解，通过求解小规模的子问题再反推出原问题的结果。动态规划也是把原问题分解为若干子问题，然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，再求解大的子问题时， 直接从表格中查询小的子问题的解， 避免重复计算， 从而提高算法效率。
- 动态规划求解两个特性
（1）最优子结构 问题的最优解包含其子问题的最优解
（2）子问题重叠 有大量的子问题是重复的，记录结果，避免重复运算
（3）无后向性 决策仅受之前决策的影响,不影响之后各阶段的决策
- 动态规划秘籍
（1）分析最优解的结构特征。
（2）建立最优值的递归式。(也可以称为决策策略)
（3）自底向上计算最优值，并记录。
（4）构造最优解。
- 如何建立最优值的递推式
（1）定义最优子问题 确定问题的优化目标
（2）定义状态 决策的结果(状态) 最终的结果(状态)就是最终解
（3）定义决策和状态转换方程 状态递增的表达式(不一定是数学表达式)
（4）确定边界条件 实际上就是递归终结条件，无需额外的计算

分析原问题最优解和子问题最优解的关系。考查有多少种选择。得到最优解递归式。  
以上的理解请不要陷入细节，更多的理解请从实际的案例中体会。问题的重复求解是动态规划提升的关键。

• 动态规划的典型应用
          青蛙上台阶问题
          棋盘格跳马问题

• 实际案例分析-兔子出生问题（斐波那契数列）

  • 问题描述

    假设第 1 个月有 1 对刚诞生的兔子，第 2 个月进入成熟期，第 3 个月开始生育兔
    子，而 1 对成熟的兔子每月会生 1 对兔子，兔子永不死去……那么，由 1 对初生兔子
    开始， 12 个月后会有多少对兔子呢？如果是 N 对初生的兔子开始， M 月后又会有多少
    对兔子呢？

  • 问题分析

    第 1 个月，兔子A没有繁殖能力，所以还是 1 对。
    第 2 个月，兔子A进入成熟期，仍然是 1 对。
    第 3 个月，兔子A生了 1 对小兔b，于是这个月共有 2 对（ 1+1=2）兔子。
    第 4 个月，兔子A又生了 1 对小兔c。兔子B进入成熟期。共有3对（ 1+2=3）兔子。
    第 5 个月， 兔子A又生了 1 对小兔d， 兔子B也生下了 1 对小兔e。 兔子C进入成熟期。共有 5 对（ 2+3=5）兔子。
    第 6 个月，兔子ABC各生下了 1 对小兔fgh。兔子进入成熟期。新生 3 对兔子加上原
    有的 5 对兔子，这个月共有 8 对（ 3+5=8）兔子

  • 算法设计

    （1）分析最优解的结构特征
    前两个月都是 1 对兔子，而从第 3 个月开始，当月的兔子数等于前两个月的兔子数，如果把每个月的兔子数看作一个最小的子问题，那么求解第 n 个月的兔子数，包含了第 n−1 个月的兔子数和第 n−2 个月的兔子数这两个子问题。
    （2）根据最优解结构特征，建立递归式
    
    （3）自底向上计算最优值
    
    （4）构造最优解
    所求的树根即为当前问题的最优解

  • 伪代码详解

    int Fib2(int n)
    {
    if(n<1)
    return -1;
    int F[n+1];
    F[1]=1；
    F[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    F[i]=F[i-1]+F[i-2];
    return F[n];
    }