大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)

算法分析与设计学习中,接触到一道大整数乘法问题,分享出来,原题目如下:

算法分析在用分治法求两个n位大整数u和v的乘积时,将u和v都分割为长度为n/3的3段。证明可以用5次n/3位整数的乘法求得uv的值。按此思想设计大整数乘积的分治方法,并分析算法的计算复杂性。

先参考一道较为简单的题目:设有两个n位二进制数X,Y,求它们的乘积XY。
分析:按照一般算法,根据小学数学乘法规律,两个数中每位数都需要相应做乘法,则需要的时间复杂度是O(n^2)。

此时,我们考虑将X,Y分为高位、低位,即
X = | A| B | , Y = | C| D|
A,B,C,D均为n/2位,求XY的问题可以转换为:

	X * Y = (A * 2^(n/2) +B )  *(C * 2^(n/2) +D )
			 = AC * 2^n + (AD + BC) * 2^(n/2)+BD			 

则,可以看出利用分治法后,进行了4次n/2位的乘法运算。但是并没有涉及算法性能优化,时间复杂度依然是O(n^2)。

这个算法进行性能提升可以使用如下方法:
先计算


    U = (A + B)(C + D), V = AC, W = BD
	则 Z = XY = V * 2^n +(U - V- W ) * 2^(n/2) + W


上面过程中,由于只使用了U、V、W涉及的3次乘法,比没有优化的少了一种,时间复杂度就降低到了在这里插入图片描述

具体 过程可以参考 Karatsuba算法

Karatsuba算法伪代码实现如下

procedure karatsuba(num1, num2)
  if (num1 < 10) or (num2 < 10)
    return num1*num2
  /* calculates the size of the numbers */
  m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))
  m2 = m/2
  /* split the digit sequences about the middle */
  high1, low1 = split_at(num1, m2)
  high2, low2 = split_at(num2, m2)
  /* 3 calls made to numbers approximately half the size */
  z0 = karatsuba(low1,low2)
  z1 = karatsuba((low1+high1),(low2+high2))
  z2 = karatsuba(high1,high2)
  return (z2*10^(2*m2))+((z1-z2-z0)*10^(m2))+(z0)

具体例子可以参照这个图片
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第1张图片

那参照上述步骤,在解决最开始提到的5次n/3位整数乘法中也可以设法将两个大整数U、V分割为

U = |A| B| C
V =|D| E| F

然后利用(A +B +C )(D +E +F)的方法,在分别细分合并其中几项,来简化复杂度,以求达到5次乘法的要求。

PS,这个方法是一开始我的想法,实现后发现只能简化到6次乘法实现,所以最后寻找别的算法。

最后发现有TOOM-COOK方法来做这个工作,而题目涉及的分为3等份的过程就是TOOM-COOK中当n = 3 的特例,也称为TOOM3。

那先来看看TOOM-COOK的一般实现,即不规定分为多少份,设分为m份。

设有两个大整数U,V,利用分治思维将U、V分为如下部分

U  = |U-(m-1)|……|U2 |U1 |U0
V   =|V-(m-1)|……|V2 |V1 |V0
设X = 10^(n/m)

则可以将u和v及其乘积w=uv表示为
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

将U,V和W都看作关于变量X的多项式,可以得到
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第2张图片

此时我们可以取2m-1个不同的数x1,x2,…,x2m-1代入上多项式,可得W(xi) 与 W0,W1,W2……W(2m-2)的关系,转换为矩阵为

大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第3张图片
那设B为红框部分的矩阵可以推得
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第4张图片

此时,取x1、 x2、 x3、 x4…. 为不同的数,再结合以下两个式子,
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第5张图片
可以得出W0 、W1、 W2、 W3、 W4与U0、 U1、U2 ,V0、 V1、 V2 的关系
最后移位相加得到最终结果,移位相加可以参考如下的图,因为设的是10进制的数,所以每次移位就是10^(n/m)
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第6张图片

那其实说到这里,相信有人已经明白了TOOM-COOK算法的整体核心思想,整体实现流程可以简单概括为
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第7张图片

那回归到本题,在具体的3等分n位大整数U、V问题中,可以详细描述为以下细节
首先,分治划分U、V

U = |U2 |U1 |U0
V =|V2 |V1 |V0

同样的,设X = 10^(n/3),那U、V及其乘积W = UV可以表示为
在这里插入图片描述
分别取X为5个不同的数,即

X1 = 0,X2 = 1,X3 = -1, X4 = 2,X5 =-2

代入多项式中
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第8张图片
第一个结论,是W(Xi)与U0,U1,U2,U3,V0,V1,V2的关系,暂且将5种X取值下的W(Xi)标记为a,b,c,d,e
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第9张图片
第二个结论,是W(Xi)即a,b,c,d,e与W = UV中各项参数W0,W1,W2,W3,W4的,其中可以看到矩阵B(TOOM-COOK一般方法中提到)
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第10张图片
至此,建立了W0,W1,W2,W3,W4与U1、U2 ,V0、 V1、 V2 的关系,经过运算后,可以求出两个式子

大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第11张图片
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第12张图片
再带入W=UV=W0+W1X+W2X2 +W3X3+W4X4 中,可以求出W
到了这一步,相信大家都已经对这道题有了更深的理解,下面我们来看一道具体的应用。

123456*987654

按照程序实现流程,划分UV后,分别求得a,b,c,d,e以及W0,W1,W2,W3,W4如下
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第13张图片
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第14张图片

UV=W0+W1X+W2X2+W3X3+W4X4 即W0, W1 , W2, W3, W4移位相加可得W结果
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第15张图片
对比运算,可知结果无误
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第16张图片

最后再说一下时间复杂度,a,b,c,d,e所涉及的一共5次乘法,加减不计,所以得到的递归方程如下:
大整数乘法中的分治思想(TOOM-COOK的一种使用方法)_第17张图片
求解得复杂度为在这里插入图片描述

TOOM-COOK实现思路和算法可以参考大数乘法问题

/**
 * Java8中的 Toom-Cook multiplication 3路乘法
 */
private static BigInteger multiplyToomCook3(BigInteger a, BigInteger b) {
    int alen = a.mag.length;
    int blen = b.mag.length;

    int largest = Math.max(alen, blen);

    // k is the size (in ints) of the lower-order slices.
    int k = (largest+2)/3;   // Equal to ceil(largest/3)

    // r is the size (in ints) of the highest-order slice.
    int r = largest - 2*k;

    // Obtain slices of the numbers. a2 and b2 are the most significant
    // bits of the numbers a and b, and a0 and b0 the least significant.
    BigInteger a0, a1, a2, b0, b1, b2;
    a2 = a.getToomSlice(k, r, 0, largest);
    a1 = a.getToomSlice(k, r, 1, largest);
    a0 = a.getToomSlice(k, r, 2, largest);
    b2 = b.getToomSlice(k, r, 0, largest);
    b1 = b.getToomSlice(k, r, 1, largest);
    b0 = b.getToomSlice(k, r, 2, largest);

    BigInteger v0, v1, v2, vm1, vinf, t1, t2, tm1, da1, db1;

    v0 = a0.multiply(b0);
    da1 = a2.add(a0);
    db1 = b2.add(b0);
    vm1 = da1.subtract(a1).multiply(db1.subtract(b1));
    da1 = da1.add(a1);
    db1 = db1.add(b1);
    v1 = da1.multiply(db1);
    v2 = da1.add(a2).shiftLeft(1).subtract(a0).multiply(
         db1.add(b2).shiftLeft(1).subtract(b0));
    vinf = a2.multiply(b2);

    // The algorithm requires two divisions by 2 and one by 3.
    // All divisions are known to be exact, that is, they do not produce
    // remainders, and all results are positive.  The divisions by 2 are
    // implemented as right shifts which are relatively efficient, leaving
    // only an exact division by 3, which is done by a specialized
    // linear-time algorithm.
    t2 = v2.subtract(vm1).exactDivideBy3();
    tm1 = v1.subtract(vm1).shiftRight(1);
    t1 = v1.subtract(v0);
    t2 = t2.subtract(t1).shiftRight(1);
    t1 = t1.subtract(tm1).subtract(vinf);
    t2 = t2.subtract(vinf.shiftLeft(1));
    tm1 = tm1.subtract(t2);

    // Number of bits to shift left.
    int ss = k*32;

    BigInteger result = vinf.shiftLeft(ss).add(t2).shiftLeft(ss).add(t1).shiftLeft(ss).add(tm1).shiftLeft(ss).add(v0);

    if (a.signum != b.signum) {
        return result.negate();
    } else {
        return result;
    }
}

参考资料
大数乘法问题
Karatsuba
两个n位大整数相乘算法
算法分析设计习题2-5
TOOM-COOK算法
TOOM-COOK
TOOM-3

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