大整数乘法的Karatsuba算法实现

    两个整数相乘，使用基本算法，时间复杂度为O(n^2)    ，这对于日趋庞大的数据来说是很慢的，目前比较常见的一种大整数的快速算法是 Karatsuba算法，当然他不是最快的，但是比基本算法要好的多，时间复杂度为O(n^1.59)，在密码运算中相差是很大的。

    现在考虑分治算法。取m = (n+1)/2，把x写成10^m*a+b的形式，y写成10^m*c+d的形式，则a, b, c, d都是m位整数(如果不足m位，前面可以补0)。

递归方程为T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中系数4为四次乘法ac, bd, bc, ad，附加代价n为最后一个return语句的两次高精度加法。方程的解为T(n) = O(n^2)，和暴力乘法没有区别。

Anatolii Karatsuba在1962年提出一个改进方法（并由Knuth改进）：用ac和bd计算bc + ad，即：

bc + ad = ac + bd - (a - b) * (c - d)

这样一来，只需要进行三次递归乘法，即递归方程变为了T(n) = 3T(n/2)+O(n)，解为T(n) = O(nlog3) = O(n^1.585)，比暴力乘法快。

计算整数乘法的最快算法是基于FFT的，它的时间复杂度为O(n log n)。【参考：http://blog.csdn.net/jiyanfeng1/article/details/8543846】

    下面是Karatsuba's multiplication algorithm 大整数的快速乘法实现，使用递归。

    理论上应该计算速度很快，但是在测试中，内存消耗巨大，速度也较慢，还希望大家帮帮忙，优化一下。和FFT_MULT相比，相差近100倍！

/*
* 时间：2013年10月11日16:16:19
* 作者：xdc
* 功能：Karatsuba's multiplication algorithm 大整数的快速乘法实现
* 输入：两个大整数f&g，位数不大于2048
* 输出：f*g
*/

# include "miracl.h"					//调用大整数库miracl.h
# include 
# include "math.h"
# define TIMES 1

big mult_k(big a, big b, long len);		//快速乘法
long length(big a);						//计算数字的长度
long max(long a, long b);				//求较大值
long max_len(big a, big b);				//求长度n，n满足是2的次幂

/************************************主函数**************************************************/
int main(void) {
	int i=0, j=0, k=0;
	big f, g, res;
	long len = 0;
	FILE *fp;
	clock_t tBegin1, tEnd1;
	clock_t tBegin2, tEnd2;
	clock_t tBegin3, tEnd3;
	miracl *mip = mirsys(4096, 16);		//最大4096位,输入输出使用16进制

	//初始化
	f = mirvar(0);
	g = mirvar(0);
	res = mirvar(0);
	fp = fopen("input.txt", "r+");

	mip->IOBASE = 16;

	cinnum(f, fp);
	cinnum(g, fp);
	fclose(fp);

	printf("f:\n");
	cotnum(f, stdout);
	printf("g:\n");
	cotnum(g, stdout);
	
	/*
	//TIMES次普通大整数乘法
	tBegin1 = clock();
	for (i=0; i= b ? a : b);
}

/*
测试环境：
---------------------------------------------------------------------------------
操作系统：windows7， x86
硬件：2G内存，主频2.67GHz
编译平台：VC6.0企业版
---------------------------------------------------------------------------------

在VC6.0中输出测试结果为：
---------------------------------------------------------------------------------
f:
F05085869EF4BA2514D08635E180E138DCD2AAAF1B04C69A4C3A9B612A6FAF9784393B5B49026FEA
2F0E244D84506A7A1D44B8745CE4B9B0C83668FD83BADEFC2A6EEC3D80BA5A3CEB1CB538C25199B0
5E3E3535F3276020F53C8E9D2B518465BD2F6322C1751A00C6EF5186614D9EC955841B2CCFD59882
853E4131233BC2E3D98E5FC36267464CE6947FEEE0EC8BC7AA611AD15D68F234BAC62C18C9DEF38B
A135550D54EBCD179EA40F377A01066B13E61FF8C9639B2D3A19EC7B8CC58877F7266FDDDC776C56
3D277DB0204C9CE7213D87E76750478531E3B09685629B1B9FEB06E118A5F3E978F8AED1D0C202A5
728021831A5012D43DE53C9CAFFF4E1D
g:
D98E5FC36267464CE6947FEEE0EC8BC7AA611AD15D68F234BAC62C18C9DEF38BA135550D54EBCD17
9EA40F377A01066B13E61FF8C9639B2D3A19EC7B8CC58877F7266FDDDC776C563D277DB0204C9CE7
213D87E76750478531E3B09685629B1B9FEB06E118A5F3E978F8AED1D0C202A5728021831A5012D4
3DE53C9CAFFF4E1DD98E5FC36267464CE6947FEEE0EC8BC7AA611AD15D68F234BAC62C18C9DEF38B
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728021831A5012D43DE53C9CAFFF4E1D
FFT_MULT:
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length: 2048
xdc_mult:
CC39E7BE78AC0D920B95B029E2005B1DB44E62400D8C455AE03E02FAD84143091F245DDBAD74DCDF
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0CF6E9131662270540099339DE8EBC3E6744BF884681D06A36A5D6C05B9BAF49


进行1次2048比特的miracl FFT大整数乘法运算所消耗的时间为:177 ms



进行1次2048比特的自写大整数乘法运算所消耗的时间为:16001 ms

Press any key to continue
---------------------------------------------------------------------------------
*/

    这是自己第一次使用大数库写代码，请大家多指教。