山东省第八届ACM省赛 Problem.H triangle

这题比较难读，给定一个无向图，不包含自环和重复边，我们定义一条边e的exp(e)为包含边e的三元环的个数。另外我们定义一个图E的nice(E)值为nice(E)=min(exp(e),e∈E),对于一个 边e的nice(e)=(max(nice(H)),e∈H and H is subgraph of G).即求所有图中最大的那个图的nice值，而那个图最大的nice值又定义为它的所有边中最小的exp值。

这题是一个贪心。。需要证明几个性质。

1、对于一开始的任意一个连通图，exp值最小的边e的nice值即是它本身。因为对于所有包含e的图H，nice(H)一定是e的exp值，而根据定义，一个边的nice值又是所有包含它的图的nice值的最大值。

2、对于一个原始连通图G，若删除一个exp最小的边，则不影响其他边的nice值。

假设exp最小边e，我们现在要求边e'的nice值，包含e'的子图会有两种情况。一种是包含e的子图，一种是不包含e的子图。对于不包含e的子图，我们删除e之后肯定不会影响e'的nice值。对于包含e的子图，肯定存在两种子图，使得一种是exp(e) <= exp(e') ，一种是exp(e) > exp(e')。对于第一种情况，我们删除e之后肯定不会影响e'的nice值，对于第二种情况，我们自然可以选取e的nice值作为e'的nice值。

于是思路 就先 O(m^2) 枚举出所有的三元环,然后我们设置一个标记来记录上一个exp最小边的nice值，每次找出exp边最小，根据我们的推出的性质，对于第一个的exp值肯定是它的nice值，把它删除之后，算出新图所有边的exp值，继续计算直到所有边都被删除，即结果。
若有错还请巨巨们指正。

#include 
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using namespace std;
const int maxn = 2000 + 10;
int e[maxn][2];
int f[maxn][maxn];
int num[maxn];
int deg[maxn];
int ans[maxn];
int vis[maxn];
int n,m;
vector  G[maxn];
void check(int x,int y) // judge tri loop
{
	int x1,x2;
	for (int i = 0;i < 2;i++)
		for (int j = 0;j < 2;j++)
			if (e[x][i] == e[y][j]){
				x1 = e[x][i^1], x2 = e[y][j^1];
				if (f[x1][x2] > max(x,y)){
					num[x]++;num[y]++;num[f[x1][x2]]++;
				}
				return;
			}
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int get_min(){
	int id = 1, minv = INF;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		if(minv > num[i]) {
			id = i;
			minv = num[i];
		}
	}
	return id;
}
void init(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(num,0,sizeof(num));
	memset(e,0,sizeof(e));
	memset(ans,0,sizeof(ans));
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		init();
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for (int i = 1;i <= n;i++)
			G[i].clear();
		for (int i = 1;i <= m;i++){
			int & u = e[i][0], &v = e[i][1];
			scanf("%d %d",&u,&v);
			f[u][v] = i;
			f[v][u] = i;
			G[u].push_back(e[i][1]);
			G[v].push_back(e[i][0]);
		}
		for (int i = 1;i <= m;i++)
			for (int j = i + 1;j <= m;j++)
				check(i,j);
		int k = 0,limit = m;
		while (limit){
			int x = get_min();
			if (num[x] <= k){
				int u = 0;
				int & o = e[x][u];
				for (int i = 0;i < (int)G[o].size(); i++){
					int &nxt = G[o][i];
					if(!vis[f[nxt][o]])
					if (f[nxt][e[x][u^1]] // exist an edge
						&& !vis[f[nxt][e[x][u^1]]]){
						num[f[nxt][e[x][u^1]]]--;
						num[f[nxt][e[x][u]]]--;
					}
				}
				ans[x] = k;
				vis[x] = true;
				num[x] = INF;
				limit--;
				continue;
			}
			k++;
		}
		for (int i = 1;i <= m;i++)
			printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}