机器学习算法笔记：谱聚类方法

这方法是昨天听同学提起的，大致翻看了几篇博客跟论文，这里写下自己的理解

从样本相似性到图

根据我们一般的理解，聚类是将相似的样本归为一类，或者说使得同类样本相似度尽量高，异类样本相似性尽量低。无论如何，我们需要一个方式度量样本间的相似性。常用的方式就是引入各种度量，如欧氏距离、余弦相似度、高斯度量等等。

度量的选择提现了你对样本或者业务的理解。比如说如果你要比较两个用户对音乐选择的品味，考虑到有些用户习惯打高分，有些用户习惯打低分，那么选择余弦相似度可能会比欧式距离更合理。

现在我们假设已有的样本为 X={x1,x2,…,xn} , 我们选择的样本相似性度量函数为 (xi,xj)→s(xi,xj) ,其中 s≥0 , s 越大表示相似性越高。一般我们选择的是距离的倒数。据此我们可以构造相似性图，节点为样本，节点之间的连边权重为样本间的相似性，如图所示。

这是一个完全图，我们的目的是去掉一些边，使得这个图变成 K 个连通子图。同一个子图内的节点归为一类。因此有两方面考虑：

• 子图内的连边权重尽量大，即同类样本间尽量相似
• 去掉的边权重尽量小，即异类样本间尽量不同

一个初步的优化方法是去掉部分权重小的边，常用的有两种方式：

• ϵ 准则，即去掉权重小于 ϵ 的所有边
• k 邻近准则，即每个节点之保留权最大的几条边

现在我们得到一个较为稀疏的图。

图与图的Laplacian矩阵

为了下一步的算法推导，首先介绍图的Laplacian矩阵，我们记节点 i,j 连边的权重为 wi,j ,如果两个节点之间没有连边， wi,j=0 ，另外 wii=0 ，那么图对应的Laplacian矩阵为：

L(G,W)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∑j≠1nw1j−w21⋮−wn1−w1,2∑j≠2nw2j⋮−wn2⋯⋯⋱⋯−w1n−w2n⋮∑j≠nnwnj⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∑j≠1nw1j∑j≠2nw2j⋱∑j≠nnwnj⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜w11w21⋮wn1w1,2w22⋮wn2⋯⋯⋱⋯w1nw2n⋮wnn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=D−W

容易看到，矩阵 L 行和为零,且对于任意的向量 f 有

f′Lf=f′Df−f′Wf=∑i=1ndif2i−∑i,j=1nfifjwij=12⎛⎝∑i=1ndif2i−2∑i,j=1nfifjwij+∑j=1ndjf2j⎞⎠=12∑i,j=1nwij(fi−fj)2

优化目标

现在我们来推导我们要优化的目标函数。前面说过，我们的目的是去掉一些边，使得这个图变成 K 个连通子图，我们还希望去掉的边权重尽量小。为此，假设我们已经把图分割成立K个连通子图 A1,⋯,AK ,那么我们去掉的边集合为

{ei,j|∃k,st.xi∈Ak and xj∉Ak}

为了方便，引入记号

W(A,B)=∑i∈A,j∈Bwij

那么

W(Ak,A¯k)=∑i∈Ak,j∉Akwij

因此去掉的边的权重和为

12∑k=1nW(Ak,A¯k)

现在的问题就转换为：找到 X 的划分 A1,⋯,AK ,使得上式最小。不幸的是，存在两个问题：

• 这是个NP难问题，没有有效算法
• 实际实验得到的结果常常将单独的一个样本分为一类

先来解决第二个问题：
我们实际希望的是，每个类别中的样本数要充分大，有两种调整目标函数的方法：

1. RatioCut，将目标函数改成
   12∑k=1nW(Ak,A¯k)|Ak|
2. Ncut, 将目标函数改成
   12∑k=1nW(Ak,A¯k)vol（Ak）
   
   其中 vol(A)=∑i∈Adi

两种方法都使得某个类样本量少的时候，对应的目标函数项变大。这里我们以第一种方法为例，第二种是类似的。

现在来解决第二个问题：
我们碰到NP难问题的时候，通常是考虑近似解，谱聚类也不例外。首先，我们要引入列向量 hk=(h1k,⋯,hn,k)′ ，其中

hij=⎧⎩⎨1|Aj|√0xi∈Ajxi∉Aj

那么，

h′kLhk=12∑i,j=1nwij(hkj−hkj)2=12∑xi∈Ak,xj∈Ak¯nwij(1|Ak|−−−−√−0)2=12W(Ak,Ak¯)|Ak|

令 H=(h1,…,hK) ,则 H′H=I ,且

12∑k=1nW(Ak,A¯k)|Ak|=∑k=1nh′kLhk=tr(H′LH)

现在的问题是找到 H 使得 tr(H′LH) 尽量小。这当然还是NP问题。原因在于 H 的列向量元素只能选择 0 或者 |Ak|−−−−√

这里用到的一个trick是放宽 H 的限制，在更大的变量空间内寻找目标函数的最小值。在这里，我们让 H 可以取任意实数，只要满足 H′H=I .那么就是求解优化问题：

argminH′H=Itr(H′LH)

令 L=Q′ΛQ,Y=QH 则 Y′Y=I ,

tr(H′LH)=tr((QH)′Λ(QH))=tr(Y′ΛY)=tr(YY′Λ)=∑i=1n(YY′)iiλi

由于 Y′Y=I ,有

0≤(YY′)ii≤1

∑i=1n(YY′)ii=tr(YY′)=tr(Y′Y)=K

可以分析得到 tr(H′LH) 取最小值时，必有 (YY′)ii=0 or 1 ,
因此

tr(H′LH)≥∑i=1Kλi

且当 Yk=ek 时等号成立，对应的 hk=(Q′Y)k=Q′ek=Q′k 为 L 的第 k 小特征值对应的特征向量。

最后一步

现在我们得到了放宽限制条件下的优化问题的最优解解 h1,⋯hK ,如何得到原问题的一个解？

我们知道，如果 H 满足原来的限制条件，那么 hij≠0 表示第 i 个样本归为第 j 类，但是我们放宽限制条件后得到的 H 可能一个零都没有！

谱聚类有意思的地方是选择了对 H 的行向量做K-means聚类，我个人认为是基于如下考虑：

1. 对满足原始限制条件的 H ，行向量一致等价于类别一致
2. 在原始限制条件下得到的 H 跟放宽限制条件下得到的 H 应该比较相近

如此可以推断在放宽条件下得到的 H 如果行向量相似，则应该类别相似。因此直接对行向量做k-means聚类即可。

总结

至此，谱聚类的大致步骤就完成了，归纳下主要步骤

1. 计算样本相似性得到样本为节点的完全图
2. 基于 ϵ 准则或者 m 邻近准则将完全图稀疏化
3. 计算稀疏化后的图的laplacian矩阵，计算其前 K 小特征值对应的特征向量作为矩阵 H 的列
4. 对矩阵 H 的行向量作k-means聚类
5. 若 H 的第 i 行与第 j 行被聚为一类，则表示 xi 与 xj 聚为一类。

代码例子

左图是原始数据，右图是谱聚类结果

import numpy as np
import networkx as nx
import scipy.linalg as llg
from Queue import PriorityQueue
import matplotlib.pylab as plt
import heapq as hp
from sklearn.cluster import k_means

# fake data from multivariate normal distribution
S = np.random.multivariate_normal([1,1], [[0.5,0],[0,0.7]],100)
T = np.random.multivariate_normal([-1,-1], [[0.3,0],[0,0.8]],100)
R = np.random.multivariate_normal([-1,0], [[0.4,0],[0,0.5]],100)
Data = np.vstack([S,T,R])
plt.subplot(1,2,1)
plt.scatter(S.T[0],S.T[1],c='r')
plt.scatter(T.T[0],T.T[1],c='b')
plt.scatter(R.T[0],R.T[1],c='y')

# calc k-nearest neighbors
def min_k(i,k):
    pq = []
    for j in range(len(Data)):
        if i == j:
            continue
        if len(pq) < k:
            hp.heappush( pq,(1/np.linalg.norm(Data[i]-Data[j]), j) )
        else:
            hp.heappushpop( pq, (1/np.linalg.norm(Data[i]-Data[j]), j) )
    return pq

# calc laplacian
L = np.zeros((len(Data),len(Data)))
for i in range(len(Data)):
    for (v,j) in min_k(i, 3):
        L[i,j] = -v
        L[j,i] = -v
L = L + np.diag(-np.sum(L,0)) 

# kmean
(lam, vec) = llg.eigh(L)
A = vec[:,0:3]
kmean = k_means(A,3)

plt.subplot(1,2,2)
plt.scatter(Data.T[0],Data.T[1],c=['r' if v==0 else 'b' if v==1 else 'y' for v in kmean[1]])
plt.show()