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最详解泊松分布Poisson distribution

概念：

设随机变量X的分布律为

P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...

其中\lambda \geqslant 0，则称X服从参数为\lambda的泊松分布，记为X\sim B(\lambda )或\pi (\lambda ).

显然

P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}> 0,k=0,1,2,...

\sum^{\infty}_{k=0}P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda ^{k}}{k!}=e^{-\lambda }e^{\lambda }=1

最详解泊松分布Poisson distribution_第1张图片

  

%MATLAB代码
x=1:40;
y1=pdf('poiss',1:40,1);
plot(x,y1,'k','LineWidth',3);hold on;
y2=pdf('poiss',1:40,4);
plot(x,y2,'g','LineWidth',3);hold on;
y3=pdf('poiss',1:40,10);
plot(x,y3,'r','LineWidth',3);hold on;
y4=pdf('poiss',1:40,20);
plot(x,y4,'b','LineWidth',3);hold on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('\lambda=1','\lambda=4','\lambda=10','\lambda=20')
title('\lambda不同的泊松分布概率密度函数')

泊松定理：

设随机变量X_{n}(n=1,2,...)服从二项分布B(n,p_{n})，其中概率p_{n}与n有关，并且满足

\underset{n\rightarrow \infty}{lim}np_{n}=\lambda >0

则

\underset{n\rightarrow \infty}{lim}C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...

证明：

令np_{n}=\lambda_{n}，则

p_{n}=\frac{\lambda_{n}}{n}

C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\begin{pmatrix} \frac{\lambda_{n}}{n} \end{pmatrix}^{k}\begin{pmatrix} 1-\frac{\lambda_{n}}{n} \end{pmatrix}^{n-k}=\frac{\lambda^{k}_{n}}{k!}\begin{bmatrix} 1\cdot (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n}) (1-\frac{k-1}{n}) (1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{n-k} \end{bmatrix}

对于任意的非负整数k，有

\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})=1

\underset{n\rightarrow \infty}{lim}\lambda_{n}^{k}=\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(np_{n})^{k}=\lambda^{k}

\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{n-k}=\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{-\frac{n}{\lambda_{n}}(-\lambda_{n})}(1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{-k}=e^{-\lambda}\cdot1=e^{-\lambda}

故得

\underset{n\rightarrow \infty}{lim}C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...

在应用中，当X\sim B(n,p)且n很大（n\geqslant 10），p很小（p< 0.1）时，有下面的泊松近似公式（其中\lambda=np）

P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}\approx\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...,n

P\begin{Bmatrix} X\geqslant m \end{Bmatrix}\approx \sum_{k=m}^{\infty}\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },m=0,1,2,...,n

 

很多随机现象都近似服从泊松分布

电话交换站一定时间内的呼唤次数；

公共汽车站来到的乘客数；

炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎片弹个数；

落在显微镜上的某种细菌的个数；

 

泊松分布的数学期望与方差

设X\sim B(\lambda)，其分布律为

P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...

E(X)=\lambda,D(X)=\lambda

证明：

E(X)=\sum^{\infty}_{k=0}k\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-k}=\lambda e^{-\lambda }\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda

D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k^{2}\cdot\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }-\lambda^{2}

=\lambda e^{-\lambda }\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda ^{2}=\lambda e^{-\lambda }\begin{bmatrix} \sum^{\infty}_{k=2}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-2)!}+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} \end{bmatrix}-\lambda ^{2}

=\lambda e^{-\lambda }\begin{bmatrix} \lambda e^{\lambda}+e^{\lambda} \end{bmatrix}-\lambda ^{2}=\lambda

想要知道还有其他分布吗？

戳这里：概率论思维导图

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