矩阵的乘法口诀（二）
今天接着谈矩阵的乘法口诀剩下的部分。
口诀
3. 行向量左乘以A，等于A行作组合；
e i e_i ei转置把A乘， i i i行取出便为积；
这句口诀与矩阵 A A A乘以列向量相对应。参考矩阵的乘法口诀（1）
注释及应用
( 3 ) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) A = x 1 r o w 1 + x 2 r o w 2 + ⋯ + x n r o w n (3) \quad (x_1,x_2,\cdots,x_n)A=x_1row_1+x_2row_2+\cdots+x_nrow_n (3)(x1,x2,⋯,xn)A=x1row1+x2row2+⋯+xnrown
( 4 ) e i A = ( 0 , ⋯ , 1 , ⋯ , 0 ) A = r o w i (4)\quad e_iA=(0,\cdots,1,\cdots,0)A=row_i\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (4)eiA=(0,⋯,1,⋯,0)A=rowi
例3 计算：
（ 1 ） ( 1 1 0 ) ( 1 2 1 2 − 1 4 0 2 2 ) ; （1）\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}; （1）(110)⎝⎛1202−12142⎠⎞;
（ 2 ） ( 1 0 0 ) ( 1 2 1 2 − 1 4 0 2 2 ) ; （2）\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}; （2）(100)⎝⎛1202−12142⎠⎞;
（ 3 ） ( 1 1 0 1 0 0 1 1 1 ) ( 1 2 1 2 − 1 4 0 2 2 ) ; （3）\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}; （3）⎝⎛111101001⎠⎞⎝⎛1202−12142⎠⎞;
解：（1）由公式（3），
( 1 1 0 ) ( 1 2 1 2 − 1 4 0 2 2 ) \begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix} (110)⎝⎛1202−12142⎠⎞
= 1 × ( 1 2 1 ) + 1 × ( 2 − 1 4 ) + 0 × ( 0 2 2 ) , （ 即 第 一 行 加 第 二 行 ） =1\times \begin{pmatrix}1&2&1\end{pmatrix}+1\times \begin{pmatrix}2&-1&4\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}0&2&2\end{pmatrix},（即第一行加第二行） =1×(121)+1×(2−14)+0×(022),（即第一行加第二行）
= ( 3 1 5 ) =\begin{pmatrix}3&1&5\end{pmatrix}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =(315)
（2）由公式（4），乘积等于取右边矩阵的第一行，所以，
( 1 0 0 ) ( 1 2 1 2 − 1 4 0 2 2 ) = ( 1 2 1 ) ; \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&1\end{pmatrix}; (100)⎝⎛1202−12142⎠⎞=(121);
（3）方法如第（1）-（2）题，每次用左边矩阵的一行乘以右边的矩阵得到乘积矩阵的各行，其中左边矩阵的第三行乘以右边的矩阵时等于右边矩阵的三行相加。
( 1 1 0 1 0 0 1 1 1 ) ( 1 2 1 2 − 1 4 0 2 2 ) \begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix} ⎝⎛111101001⎠⎞⎝⎛1202−12142⎠⎞
= ( 3 1 5 1 2 1 3 3 7 ) =\begin{pmatrix}3&1&5\\1&2&1\\3&3&7\end{pmatrix} =⎝⎛313123517⎠⎞
口诀
4. 初等矩阵左右乘，初等变换显神奇
初等矩阵是指将单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵。
定理 用初等矩阵从左边乘以矩阵 A A A等于对 A A A施加一次相应的行变换，用初等矩阵从右边乘以矩阵 A A A等于对 A A A施加一次相应的列变换。
注释及应用
如果聪明的读者能明白上面定理的意思，那么遇到初等矩阵乘以任意矩阵时，就可以将矩阵的乘积转化为对这个矩阵做相应的初等变换了，这时就能一下得出整个乘积矩阵了，是不是很神奇呢？
例4 计算：
( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) 2019 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 1 0 0 0 2 0 0 0 1 ) 2019 \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{2019}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{2019} ⎝⎛010100001⎠⎞2019⎝⎛147258369⎠⎞⎝⎛100020001⎠⎞2019
解：由定理知，
( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} ⎝⎛010100001⎠⎞⎝⎛147258369⎠⎞
= ( 4 5 6 1 2 3 7 8 9 ) , （ 即 交 换 右 边 矩 阵 的 一 、 二 行 ） =\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix},（即交换右边矩阵的一、二行） =⎝⎛417528639⎠⎞,（即交换右边矩阵的一、二行）
而2019次方等于将右边的矩阵的一二行交换2019次，所以效果等于交换一次，于是，
( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) 2019 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 1 0 0 0 2 0 0 0 1 ) 2019 \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{2019}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{2019} ⎝⎛010100001⎠⎞2019⎝⎛147258369⎠⎞⎝⎛100020001⎠⎞2019
= ( 4 5 6 1 2 3 7 8 9 ) ( 1 0 0 0 2 0 0 0 1 ) 2019 =\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{2019} =⎝⎛417528639⎠⎞⎝⎛100020001⎠⎞2019
右边的矩阵乘以左边的矩阵等于将它的第二列2倍，2019次方的效果等于扩大为第二列的 2 2019 2^{2019} 22019倍，所以，
原 式 = ( 4 5 × 2 2019 6 1 2 × 2 2019 3 7 8 × 2 2019 9 ) . 原式=\begin{pmatrix}4&5\times 2^{2019}&6\\1&2\times 2^{2019}&3\\7&8\times 2^{2019}&9\end{pmatrix}. 原式=⎝⎛4175×220192×220198×22019639⎠⎞.
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