[Note] 拟阵
Reference
本来打算啃论文的结果被我鸽啦
论文的话可以参考 WC 2007 2015 2018
为了方便大家（我）看得懂而且我赶时间
我就简单一点讲吧。所以会很不严谨
有限拟阵Reference
一个有限拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I) 满足：
S \rm S S 是有限集； S \rm S S 的某些子集组成有限非空集 I \rm I I ，且这些子集被称为独立集。
遗传性： I \rm I I 里面的某个集合的子集必须也属于 I \rm I I 。（所以 ∅ ∈ I \varnothing\in\rm I ∅∈I 。)
交换性： ∀ A , B ∈ I \forall\rm A,B\in\rm I ∀A,B∈I ， ∣ B ∣ > ∣ A ∣ \rm |B|>|A| ∣B∣>∣A∣ ，一定有： ∃ v ∈ B − A \exists\rm v\in\rm B-A ∃v∈B−A 满足 A ∪ { v } ∈ I \rm A\cup\{v\}\in\rm I A∪{v}∈I
交换性换句话说就是：
任意一个独立集一定是至少一个大小最大的独立集（即极大独立集 or 拟阵的基）的子集。
所以实际上你也可以把 I \rm I I 看作是多个极大独立集的所有子集构成的集合？
举个例子，均匀拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I)
S = s o m e t h i n g {\rm S}=something S=something ， I = { A ⊆ S : ∣ A ∣ ≤ k } {\rm I}=\{{\rm A\subseteq S\;:\;|A|}\le k\} I={A⊆S:∣A∣≤k} 其中 k k k 是常数。
再举个例子：图拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I)
S \rm S S 为无向图 G \rm G G 的边集。（ G \rm G G 是有向图的话大概率就没有这样的拟阵啦？）
所有的独立集无环。（换句话说就是：所有大小最大的独立集都是生成森林）
再再举个栗子：匹配拟阵 M = ( V , I ) \rm M=(V,I) M=(V,I)
V \rm V V 是无向图 G = ( V , E ) \rm G=(V,E) G=(V,E) 的点集；
所有的独立集都满足存在一个匹配可以覆盖其中的所有点。
用增广路可以证明匹配拟阵的交换性；
利用拟阵并可以简单地证明二分图匹配拟阵的交换性。
留作习题喜提
图拟阵里面，带环的都是非独立集。
但是单个环还是有点意思的，可以下个定义啊。
极小非独立集：去掉其中的任意一个元素都可以形成一个独立集。
你可以发现任意一个拟阵所有基大小相同，但是所有环大小不一定相同。
另外提一下基交换定理
基 A , B \rm A,B A,B 。为了方便看懂记 C = A ∩ B \rm C=A\cap B C=A∩B
你可以把 A \rm A A （或者 B \rm B B ） 减去 A \ C \rm A\backslash C A\C （或者 B \ C \rm B\backslash C B\C ） 的任意一个子集
然后一定能够加上 B \ C \rm B\backslash C B\C （或者 A \ C \rm A\backslash C A\C ） 的某一个子集形成一个独立集。
证明：利用拟阵的交换性公理
拟阵的秩 & 秩函数
拟阵的秩 = 拟阵基的大小
对于拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I) ，任意一个 U ⊂ S \rm U\subset S U⊂S ，有：
秩函数 r ( U ) r(\rm U) r(U) 表示 U \rm U U 中极大独立集（这里是指 U \rm U U 里面大小最大的那个独立集）的大小。
性质：
有界性
单调性
次模性
前两个性质都很显然以至于我懒得打
第三个性质
∀ A , B ⊂ S , r ( A ∪ B ) + r ( A ∩ B ) = r ( A ) + r ( B ) \forall \rm A,B\subset S,\;r(A\cup B)+r(A\cap B)=r(A)+r(B) ∀A,B⊂S,r(A∪B)+r(A∩B)=r(A)+r(B)
看起来有点像 ( a , b ) [ a , b ] = a b (a,b)[a,b]=ab (a,b)[a,b]=ab 所以也许很好记、
怎么证明呢？
设 A ∩ B , A , B , A ∪ B \rm A\cap B,A,B,A\cup B A∩B,A,B,A∪B 里面的极大独立集分别为 Q , W , E , R \rm Q,W,E,R Q,W,E,R
然后先准备两个字母 T \rm T T 和 Y \rm Y Y
令 Q + T = W \rm Q+T=W Q+T=W
令 Q + Y = E \rm Q+Y=E Q+Y=E
有 Q + T + Y = R \rm Q+T+Y=R Q+T+Y=R
有 Q + R = Q + T + Q + Y = W + E \rm Q+R=Q+T+Q+Y=W+E Q+R=Q+T+Q+Y=W+E
好啦。
（至于看起来为什么会有点像 ( a , b ) [ a , b ] = a b (a,b)[a,b]=ab (a,b)[a,b]=ab 那当然是有原因的啦？自行思考）
秩函数可以推出拟阵公理，留做习题。
加权拟阵
就是加权啦，给每一个独立子集 A A A 附加权值 ω ( A ) = ∑ v ∈ A ω ( v ) \omega(A)=\sum\limits_{v\in A}\omega(v) ω(A)=v∈A∑ω(v)
拟阵上的最优化问题：最大权独立子集
看起来是不是很熟悉鸭
求加权拟阵的最大权独立子集？贪心即可。
把 S \rm S S 里面的元素从大到小排
按照排序后的顺序逐个考虑 S \rm S S 里面的每个元素，只要加上之后还是独立集就加上。
最后得到的集合一定是最优的，而且是拟阵的一个基。（当然前提是元素非负？）
会得到基是显然的。
由此，加上一开始做的排序：会得到最优解自然也是显然的。
然后根据这个一般方法，可以得到：
最小生成树。
二分图匹配。
etc
对于新的问题，可以从遗传性入手判断它是不是一个拟阵问题，然后试着证明交换性
然后就可以用类似的方法解决了。典型例子是最小生成环套树森林。
update 博主退役了 再见
WC2018 的论文应该很通俗易懂 就不讲啦
据说国外拟阵交&并的应用比较广 不过我还没写过有点小遗憾