[Note] 拟阵

Reference


本来打算啃论文的结果被我鸽啦
论文的话可以参考 WC 2007 2015 2018

为了方便大家(我)看得懂而且我赶时间
我就简单一点讲吧。所以会很不严谨


有限拟阵Reference

一个有限拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I) 满足:
S \rm S S 是有限集; S \rm S S 的某些子集组成有限非空集 I \rm I I ,且这些子集被称为独立集
遗传性 I \rm I I 里面的某个集合的子集必须也属于 I \rm I I 。(所以 ∅ ∈ I \varnothing\in\rm I I 。)
交换性 ∀ A , B ∈ I \forall\rm A,B\in\rm I A,BI ∣ B ∣ > ∣ A ∣ \rm |B|>|A| B>A ,一定有: ∃ v ∈ B − A \exists\rm v\in\rm B-A vBA 满足 A ∪ { v } ∈ I \rm A\cup\{v\}\in\rm I A{v}I
交换性换句话说就是:
任意一个独立集一定是至少一个大小最大的独立集(即极大独立集 or 拟阵的基)的子集。

所以实际上你也可以把 I \rm I I 看作是多个极大独立集的所有子集构成的集合?

举个例子,均匀拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I)
S = s o m e t h i n g {\rm S}=something S=something I = { A ⊆ S    :    ∣ A ∣ ≤ k } {\rm I}=\{{\rm A\subseteq S\;:\;|A|}\le k\} I={AS:Ak} 其中 k k k 是常数。

再举个例子:图拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I)
S \rm S S无向图 G \rm G G 的边集。( G \rm G G 是有向图的话大概率就没有这样的拟阵啦?)
所有的独立集无环。(换句话说就是:所有大小最大的独立集都是生成森林)

再再举个栗子:匹配拟阵 M = ( V , I ) \rm M=(V,I) M=(V,I)
V \rm V V 是无向图 G = ( V , E ) \rm G=(V,E) G=(V,E) 的点集;
所有的独立集都满足存在一个匹配可以覆盖其中的所有点。

用增广路可以证明匹配拟阵的交换性;
利用拟阵并可以简单地证明二分图匹配拟阵的交换性。
留作习题喜提

图拟阵里面,带环的都是非独立集。
但是单个环还是有点意思的,可以下个定义啊。
极小非独立集:去掉其中的任意一个元素都可以形成一个独立集。

你可以发现任意一个拟阵所有基大小相同,但是所有环大小不一定相同。

另外提一下基交换定理
A , B \rm A,B A,B 。为了方便看懂记 C = A ∩ B \rm C=A\cap B C=AB
你可以把 A \rm A A (或者 B \rm B B ) 减去 A \ C \rm A\backslash C A\C (或者 B \ C \rm B\backslash C B\C ) 的任意一个子集
然后一定能够加上 B \ C \rm B\backslash C B\C (或者 A \ C \rm A\backslash C A\C ) 的某一个子集形成一个独立集。
证明:利用拟阵的交换性公理


拟阵的秩 & 秩函数

拟阵的秩 = 拟阵基的大小
对于拟阵 M = ( S , I ) \rm M=(S,I) M=(S,I) ,任意一个 U ⊂ S \rm U\subset S US ,有:
秩函数 r ( U ) r(\rm U) r(U) 表示 U \rm U U 中极大独立集(这里是指 U \rm U U 里面大小最大的那个独立集)的大小。
性质:
有界性
单调性
次模性
前两个性质都很显然以至于我懒得打
第三个性质
∀ A , B ⊂ S ,    r ( A ∪ B ) + r ( A ∩ B ) = r ( A ) + r ( B ) \forall \rm A,B\subset S,\;r(A\cup B)+r(A\cap B)=r(A)+r(B) A,BS,r(AB)+r(AB)=r(A)+r(B)
看起来有点像 ( a , b ) [ a , b ] = a b (a,b)[a,b]=ab (a,b)[a,b]=ab 所以也许很好记、
怎么证明呢?
A ∩ B , A , B , A ∪ B \rm A\cap B,A,B,A\cup B AB,A,B,AB 里面的极大独立集分别为 Q , W , E , R \rm Q,W,E,R Q,W,E,R
然后先准备两个字母 T \rm T T Y \rm Y Y
Q + T = W \rm Q+T=W Q+T=W
Q + Y = E \rm Q+Y=E Q+Y=E
Q + T + Y = R \rm Q+T+Y=R Q+T+Y=R
Q + R = Q + T + Q + Y = W + E \rm Q+R=Q+T+Q+Y=W+E Q+R=Q+T+Q+Y=W+E
好啦。
(至于看起来为什么会有点像 ( a , b ) [ a , b ] = a b (a,b)[a,b]=ab (a,b)[a,b]=ab 那当然是有原因的啦?自行思考
秩函数可以推出拟阵公理,留做习题。


加权拟阵

就是加权啦,给每一个独立子集 A A A 附加权值 ω ( A ) = ∑ v ∈ A ω ( v ) \omega(A)=\sum\limits_{v\in A}\omega(v) ω(A)=vAω(v)


拟阵上的最优化问题:最大权独立子集

看起来是不是很熟悉鸭
求加权拟阵的最大权独立子集?贪心即可。
S \rm S S 里面的元素从大到小排
按照排序后的顺序逐个考虑 S \rm S S 里面的每个元素,只要加上之后还是独立集就加上。
最后得到的集合一定是最优的,而且是拟阵的一个。(当然前提是元素非负?)
会得到基是显然的。
由此,加上一开始做的排序:会得到最优解自然也是显然的。

然后根据这个一般方法,可以得到:
最小生成树。
二分图匹配。
etc
对于新的问题,可以从遗传性入手判断它是不是一个拟阵问题,然后试着证明交换性
然后就可以用类似的方法解决了。典型例子是最小生成环套树森林。


update 博主退役了 再见
WC2018 的论文应该很通俗易懂 就不讲啦
据说国外拟阵交&并的应用比较广 不过我还没写过有点小遗憾

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