线性代数——线性组合、线性空间、基底

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线性组合

线性组合就是关于向量的加法和向量的数乘的组合运算,即:
au+bv a u → + b v →

线性空间

线性空间就是,若干个向量通过线性组合所得到的一个集合。
以下用两个向量的线性组合为例,更多的向量也可类推。
1. u,v线. u → , v → 两 向 量 不 共 线 .
则两向量的线性组合 au+bv a u → + b v → 可以得到二维平面内任意的向量,即:
au+bv a u → + b v → 得到的集合是一个二维平面。
线性代数——线性组合、线性空间、基底_第1张图片

  1. u,v线. u → , v → 两 向 量 共 线 .
    则两向量的线性组合 au+bv a u → + b v → 可以得到 v v → 所在直线上的任意的向量,即所得到的集合时一条直线。
    线性代数——线性组合、线性空间、基底_第2张图片
  2. u,v0. u → , v → 两 向 量 为 0 → .
    则两向量的线性组合 au+bv, a u → + b v → , 只能得到 0 0 → ,即所得集合始终为一个点。

将第一种情况,称为线性无关,后两种情况称为线性相关
在几何上,线性无关就是对于给定的向量 uv u → , v → ,任何一个向量 w w → ,都能通过 uv u → , v → 的线性组合(放缩、平移)得到;而线性相关,不能由给定的向量得到任意的向量 w w → .

基底

基底需要通过线性组合表示所在线性空间的任意向量,因此作为基底的向量必定是线性无关的。

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