线性代数——线性组合、线性空间、基底

目录

---

线性组合

线性组合就是关于向量的加法和向量的数乘的组合运算，即：
au⃗+bv⃗ a u → + b v →

线性空间

线性空间就是，若干个向量通过线性组合所得到的一个集合。
以下用两个向量的线性组合为例，更多的向量也可类推。
1. u⃗,v⃗两向量不共线. u → , v → 两 向 量 不 共 线 .
则两向量的线性组合 au⃗+bv⃗ a u → + b v → 可以得到二维平面内任意的向量，即：
au⃗+bv⃗ a u → + b v → 得到的集合是一个二维平面。

1. u⃗,v⃗两向量共线. u → , v → 两 向 量 共 线 .
   则两向量的线性组合 au⃗+bv⃗ a u → + b v → 可以得到 v⃗ v → 所在直线上的任意的向量，即所得到的集合时一条直线。
   
2. u⃗,v⃗两向量为0⃗. u → , v → 两 向 量 为 0 → .
   则两向量的线性组合 au⃗+bv⃗, a u → + b v → , 只能得到 0⃗ 0 → ，即所得集合始终为一个点。

将第一种情况，称为线性无关，后两种情况称为线性相关。
在几何上，线性无关就是对于给定的向量 u⃗，v⃗ u → ， v → ，任何一个向量 w⃗ w → ，都能通过 u⃗，v⃗ u → ， v → 的线性组合（放缩、平移）得到；而线性相关，不能由给定的向量得到任意的向量 w⃗ w → .

基底

基底需要通过线性组合表示所在线性空间的任意向量，因此作为基底的向量必定是线性无关的。