【数学】一张通往数学世界的地图-阅读笔记

数学起源于计数

古埃及人写下了第一个方程

现代数学分为：纯数学与应用数学

纯数学的价值–美

这里的美可以理解为规律吧

纯数学

纯数学可以分为四个部分：数字系统（NUMBER SYSTEMS）、结构（STRUCTURES）、空间（SPACE）、变化（CHANGES）

• 数字系统起源于数

• 结构
  包括：代数、线性代数、数论、组合数学、群论、序理论

• 空间
  几何、三角学、分形、拓扑学、测度论、微分几何

• 变化
  微积分、向量分析（向量场的微分和积分）、动力系统（随时间的变化）、混沌理论（对初始条件敏感、蝴蝶效应）、复分析

应用数学

• 物理学
  微分方程被应用于经典力学和量子力学；
  场论被应用在电磁场、引力场和规范场；
  群论和表示论被应用在粒子物理学中。

推荐书籍：
《Mathematical Methods in the Physical Sciences》——Mary Boas

• 数学化学、生物数学

• 工程学
  非常复杂的电路系统，比如在飞机或电网中，就利用了动力系统的方法，叫控制理论

• 数值分析
  使用大型计算来解决过于复杂的问题

• 博弈论

• 概率论、统计学

• 最优化

• 计算机科学

• 密码术

数学基础

数学的基础试图理解数学本身的性质，并且追问所有数学规则的基础是什么。是否存在着一套称为公理的完整的基本规则？我们要如何证明它是否自洽？数理逻辑、集合论、和范畴论就是试图回答这个问题。在数理逻辑中有一个非常著名的成果叫做哥德尔不完备定理，对于大多数人来说，数学并没有一套完整和自洽的公理，意味着它们都是由我们人类创造的。这听起来很奇怪，因为数学如此完美的解释了宇宙中的许多事物。

我们还有计算理论，它专注于研究不同的计算模型，基于这些模型如何能够有效地解决问题。它包含了复杂性理论，其中P/NP问题是该领域中至今没有解决的问题。

参考

一张通往数学世界的地图