【BZOJ5306】染色（HAOI2018）-容斥原理+NTT

测试地址：染色
做法：本题需要用到容斥原理+NTT。
好吧，我承认以下的推导过程是借（chao）鉴（xi）这位大佬的，Orz。
要求恰有 i(0≤i≤E,E=min(⌊nS⌋,m)) i ( 0 ≤ i ≤ E , E = min ( ⌊ n S ⌋ , m ) ) 种颜色出现 S S 次的方案数，其实就是要求其他 m−i m − i 种颜色必定不能恰好出现 S S 次，用容斥原理列出式子得：
ans=∑Ei=0WiCimCiSn(iS)!(S!)i∑E−ij=0(−1)jCjm−iCjSn−iS(jS)!(S!)j(m−i−j)n−iS−jS a n s = ∑ i = 0 E W i C m i C n i S ( i S ) ! ( S ! ) i ∑ j = 0 E − i ( − 1 ) j C m − i j C n − i S j S ( j S ) ! ( S ! ) j ( m − i − j ) n − i S − j S
在第二个和式中用 j−i j − i 替换 j j ，则有：
ans=∑Ei=0WiCimCiSn(iS)!(S!)i∑Ej=i(−1)j−iCj−im−iC(j−i)Sn−iS((j−i)S)!(S!)j−i(m−j)n−jS a n s = ∑ i = 0 E W i C m i C n i S ( i S ) ! ( S ! ) i ∑ j = i E ( − 1 ) j − i C m − i j − i C n − i S ( j − i ) S ( ( j − i ) S ) ! ( S ! ) j − i ( m − j ) n − j S
把组合数拆开，化简得：
ans=∑Ei=0Wimni!∑Ej=i(−1)j−i(m−j)n−jS(j−i)!(m−j)!(n−jS)!(S!)j a n s = ∑ i = 0 E W i m n i ! ∑ j = i E ( − 1 ) j − i ( m − j ) n − j S ( j − i ) ! ( m − j ) ! ( n − j S ) ! ( S ! ) j
交换 i,j i , j 的位置，整理得：
ans=∑Ej=0m!n!(m−j)n−jS(m−j)!(n−jS)!(S!)j∑ji=0Wii!×(−1)j−i(j−i)! a n s = ∑ j = 0 E m ! n ! ( m − j ) n − j S ( m − j ) ! ( n − j S ) ! ( S ! ) j ∑ i = 0 j W i i ! × ( − 1 ) j − i ( j − i ) !
显然后半部分是一个卷积的形式，使用NTT求出即可。
以下是本人代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1004535809;
const ll g=3;
int r[400010];
ll n,m,s,E,fac[10000010],inv[10000010];
ll a[400010],b[400010],w[100010];

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=s*ss%mod;
        ss=ss*ss%mod;b>>=1;
    }
    return s;
}

void NTT(ll *a,ll type,int n)
{
    for(int i=0;iif (ifor(int mid=1;mid1)
    {
        ll W=power(g,(type*(mod-1)/(mid<<1)%(mod-1)+(mod-1))%(mod-1));
        for(int l=0;l1))
        {
            ll w=1;
            for(int k=0;kif (type==-1)
    {
        ll inv=power(n,mod-2);
        for(int i=0;iint main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&s);
    for(int i=0;i<=m;i++)
        scanf("%lld",&w[i]);
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(ll i=2;i<=max(n,m);i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }
    for(ll i=2;i<=max(n,m);i++)
        inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;

    E=min(n/s,m);
    for(ll i=0;i<=E;i++)
    {
        a[i]=w[i]*inv[i]%mod;
        b[i]=(((i%2)?-1:1)*inv[i]%mod+mod)%mod;
    }

    int x=1,bit=0;
    while(x<=(E<<1)) x<<=1,bit++;
    r[0]=0;
    for(int i=1;i<=x;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
    NTT(a,1ll,x),NTT(b,1ll,x);
    for(int i=0;i<=x;i++)
        a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,-1ll,x);

    ll ans=0;
    for(ll j=0;j<=E;j++)
    {
        ll now=1;
        now=fac[m]*fac[n]%mod*inv[m-j]%mod*inv[n-j*s]%mod;
        now=now*power(m-j,n-j*s)%mod;
        now=now*power(power(fac[s],j),mod-2)%mod;
        now=now*a[j]%mod;
        ans=(ans+now)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);

    return 0;
}